Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015

1) z 2x 4 y 6 ;

z

4 y 4x .

x

y

2x 4 y 6 0,

. Маємо M 1;1 - критич-

2) Розв’яжемо систему рівнянь 4y

4x

0

на точка.

3) Зобразимо область D (рис. 6).

у

3 А

М

1

В

0 1

3

х

В нашому випадку область D -

це трикутник AOB . Як бачимо, M D .

Знайдемо z

M 1 2 4 6 3 .

4) На відрізку OB : y 0, x 0; 3 . Після підстановки

y 0 функція z

перетвориться на функцію однієї змінної z x2

6x . Цю функцію досліджу-

1

0; 3 . Маємо:

ємо на найбільше та

найменше

значення

на відрізку

z 2x 6

;

z

0 2x 6 0, тоді

x 3 - критична точка, яка належить від-

1

1

різку 0; 3 .

z1

3 9 18 9 . Знайдемо також значення функції на лівому

кінці проміжку z1 0 0 . Зазначимо, що z1 0 z 0;0 , z1 3 z 3;0 .

Розглянемо відрізок

OA : x 0, y 0; 3 . На цьому відрізку одержимо

функцію z

2

2 y2 . Тоді

z 4 y; z 0 y 0 - критична точка, яка нале-

2

2

жить відрізку 0; 3 . Знайдемо z2 0

z 0;0 0

і z2 3 z 0;3 18 .

мо функцію

z x2 2

3 x 2

4x 3 x 6x

або

z

5x2 18x 18 .

Знай-

3

3

демо z

10x 18; z

0 x 1,8 -

критична точка. 1,8 0; 3 , тому знахо-

3

3

димо

z3

1,8 1,8 . Значення

z3

на

кінцях

відрізку

вже

знайдені,

адже

z3 0 z2 3 18 і z3 3 z1 3 9 .

5)

Таким чином, найбільшим в області

D значенням функції

z є

z 0;0

0 , а найменшим - z 0;3 18.

Завдання 7.3 На площині Oxy знайти точку M x; y , сума квадратів ві-

дстаней від якої до трьох прямих x 0, y 0, x y 1 0 була б найменшою.

Розв’язання

Позначимо через d1, d2 і d3

відстані від точки M x; y

до прямих x 0 ,

y 0 і

x y 1 0 відповідно. Як бачимо, відстань від точки M до осі Oy

x 0

дорівнює модулю її абсциси, тобто

d

2

x2 . Аналогічно знаходимо ві-

1

дстань від точки M до осі Ox y 0 :

d 2

y2

. Для знаходження

d

3

скорис-

2

таємось формулою для знаходження відстані від точки

P x0; y0 до прямої

l : Ax By C 0 ,

що має вигляд:

d

Ax0 By0 C

.

Отже d3

x y 1

,

A2 B2

2

тобто d

2

x y 1 2

.

3

2

Таким

чином,

слід

знайти

найменше

значення

функції

z x2 y2

x y 1 2

.

Знайдемо

частинні

похідні:

z

2x x y 1,

2

x

z

3x y 1 0,

y

2 y x y 1. Розв’язавши систему x

3y

1

0

,

маємо критичну точ-

1

1

2 z

2 z

ку

N

;

. Дізнаємось, чи буде вона точкою екстремуму.

x2

3,

y2

3

,

4

4

2 z

1;

3 3 1 2

8 ;

8 0 . Отже N -

точка екстремуму. При

x y

N

цьому

N

-

це точка

мінімуму,

оскільки

2 z

3 0 .

Отже

для точки

x2

N

1

1

x 0 ,

y 0 ,

N

;

сума

квадратів

відстаней до

трьох

прямих

4

4

Завдання 7.5 Перевірити, чи будуть точки O 0;0 , K 1; 1 , N 1; 0,5 ,

M 3; 1 точками екстремуму для функції z x3 8y3 6xy 3 .

Завдання 7.6 Дослідити на екстремум функцію

1)

z x 1 2 2 y2 ; 2) z x2 xy y2 2x y ; 3) z x2 4xy y2 6x 2 y ;

4)

z y3 3x2 y 30 y 18x ; 5) z x3 y3 9xy ; 6) z 2x3 xy2 5x2 y2 ;

7)

z ex y x2 2 y2 .

Завдання

7.9

Знайти точку чотирикутника ABCD A 0; 0 , B 1; 0 ,

C 1; 1 , D 0; 2

сума квадратів відстаней від якої до його вершин є най-

меншою.

Завдання 7.10

Додатне число a записати у вигляді трьох доданків x, y, z