Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

936.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

лий); y 0 на інтервалі 2; (графік увігнутий). Отже x 2 - абсциса точки перегину і y 2 2 e 2 0,27. За результатами дослідження побудуємо графік функції (рис. 4).

y			y
			y
2			0,37
			0,37
			0,27
0	1 2	x	0	1 2	х
-2

Рис. 3

Рис. 4

Завдання 5.3 Під час підготовки до іспиту студент за x днів вивчає таку

частину всього курсу:

, а забуває таку:

. Скільки днів треба витратити

x 1

на підготовку, щоб засвоєна частина була найбільшою?

Розв’язання

Складемо функцію, що виражає залежність засвоєної частини курсу від

кількості днів x , витрачених на підготовку:

f x

Знайдемо її

найбільше значення на проміжку 0; , якщо вона цього значення досягає.

x .

x 1 x

Знайдемо похідну f

Маємо: f

x x 1 2

1 2

36 . Знай-

демо критичні точки, що належать проміжку 0; . Маємо: f x 0 , якщо

x 1 2	36 , тобто	x 5 . Зауважимо, що f x 0 , коли	x 0;5 ( функція
зростає), f x 0 ,		коли x 5; ( функція спадає).	Отже на проміжку
0;	неперервна функція f x має лише одну точку екстремуму, це точка

максимуму x 5 . Тоді в цій точці функція досягає свого найбільшого на цьому проміжку значення f 5 3625 . Таким чином, студентові треба витра-

тити на підготовку 5 днів, щоб засвоєна частина курсу була найбільшою.

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 5.4 Провести повне дослідження функцій і побудувати їх гра-

фіки.

1) y x3 3x2 9x ; 2)

3x 1

; 3)

3x 4

; 4) y 2x 1

;

x 3

5) y

; 6) y

; 7) y

x 2

; 8)

y x2

; 9) y x ln x 1 ;

x 1 2

e2 x ; 11)

ln x

x 1

10)

y x2

; 12) y

; 13)

y ln

; 14) y

x2 1

;

x 1

15)

y x 2arctgx .

Завдання 5.5 Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.

1)y 2x3 15x2 36x, x 2;2 ; 2) y 3x4 20x3 24x2 , x 2;2 ;

3)y x 2 2 2x 3 , x 4;1 ; 4) y x2 16x 16, x 1;4 ;

5)	y 3 x	4	,	x 1;2 ; 6)	y x 2	x, x 0;4 ;
		x 2 2

7) y x 4x 2 8, x 2;7 ; 8) y 32x2 x 3 , x 1;6 .

Завдання 5.6 Сума двох додатних чисел дорівнює 10. Знайти можливий найбільший добуток цих чисел.

Завдання 5.7 Число 54 представити у вигляді суми трьох доданків, перший з яких удвічі більший від другого. Знайти ці доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

Завдання 5.8 З дроту довжини L треба виготовити прямокутну рамку найбільшої площі. Знайти розміри рамки.

Завдання 5.9 Знайти найбільший об’єм циліндра, площа поверхні якого дорівнює S .

Завдання 5.10 Вікно має форму прямокутника, завершеного півколом (рис. 5). Периметр вікна дорівнює 15 м . При якому радіусі півкола воно буде

пропускати максимальну кількість світла?

	R
В	С

А						D

	Рис. 5
Завдання 5.11 Тіло масою 3000 кг падає з висоти 500 м і втрачає масу
(згорає) пропорційно до часу падіння,			коефіцієнт пропорційності k 100							кг	.
(згорає) пропорційно до часу падіння,			коефіцієнт пропорційності k 100								.
										с
Вважаючи, що початкова швидкість v				0 ,		а прискорення g 10		м	, знайти
Вважаючи, що початкова швидкість v				0 ,		а прискорення g 10			, знайти
		0						с2
								с2
найбільшу кінетичну енергію тіла ( E					mv2		). Силою опору повітря знехту-
найбільшу кінетичну енергію тіла ( E		k					). Силою опору повітря знехту-
		k		2
				2
вати.
Завдання 5.12 На параболі y x2			6x 11 знайти точку найменш відда-
лену від прямої y x . Знайти цю відстань.

Тема 6. Частинні похідні функції кількох змінних та деякі їх застосування

Завдання 6.1 Знайти частинні похідні					z та	z	функції
					x	y
	2			; 2) z 2sin x tgy ey ; 3)
1) z x3 4 y2 x	2
								z ln
		y	2					z ln
4) z arcsin3 x y .		y
4) z arcsin3 x y .
				Розв’язання
1) Обчислюючи	z			слід пам’ятати,	що	y	-	стала
1) Обчислюючи	x			слід пам’ятати,	що	y	-	стала
	x

z f x; y

3
	2 y	;

3 x
3 x

величина. Тоді

x3 4 y2

2 y

3x2

Аналогічно знаходимо

x const :

4 x y2

2sin x tgy ey 2ey cos x ;

2sin x tgy y ey 2sin x tgy ey y

2sin x - tgy ey

cos2

2sin x tgy

ey .

cos2 x

3 x

;

3 2 y

3x 2 y

2 y

3 x

2 3 x

3 2 y 3

2 y

2 x y

4) z

3 arcsin2 x y

yx y 1

3yx y 1

arcsin

;

1 x2 y

x y

3 arcsin2 x y

x y ln x

3x y ln x arcsin2

1 x2 y

Завдання 6.2 Для функції z arctg xy знайти частинні похідні другого

порядку.

Розв’язання Знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

; z

Тепер знайдемо частинні похідні від

та

. Одержимо:

2xy

;

2xy

;

x x2 y2

x2 y2 2

x2 y2

x2 y2 2

1 x

2 y y

;

x y

y x2 y2

x2 y2 2

1 x

2x x

y x

x2 y2

x2 y2 2

Завдання 6.3 Знайти

, якщо z ln sin

, x 3t2 , y

t2 1 .

Розв’язання Скористаємося формулою для знаходження похідної складеної

z f x; y , де x x t , y y t :

Маємо:

cos

ctg

;

sin

cos

ctg

;

6t ;

sin

2 y

функції

6. 1

Тоді

ctg

Завдання 6.4 Знайти частинні похідні

та

функції

x u2v3 , y u2 v3 .

Розв’язання

Справедливі формули:

y ;

y .

zx2 lny , де

6. 2

Тоді:

2x ln

z	2x ln y 2uv3	x2		2xv3 ln y	x2
			2u 2u			;
u		y			y

	x	2			x	2
y 3u2v2			3v2 3v2	2xu2 ln y			.
	y				y

Завдання 6.5 Обчислити похідну показниково-степеневої функції

y x2 3 tg2 x .

Розв’язання

Введемо позначення u x2

3, v tg2x . Тоді

y uv . Скориставшись фо-

рмулою 6.1 , одержимо:

dy y du

y dv

v 1

ln u v .

tg2 x 1

tg2 x

Отже

tg2x x2 3

2x x2 3

ln x2

cos2 2x

Завдання

6.6

Знайти

похідну

функції

заданої

рівнянням

ln x2 y2 2arctg

0 .

Розв’язання

Якщо неявна функція y x

задана рівнянням F x, y 0 , то її похідну

можна обчислити за формулою

В цій задачі F x, y ln x2

2 2arctg

. Отже

2x 2 y

;

x2 y2

2 y

2 y 2x

x2 y2

Тоді

2x 2 y

2 y 2x

x y

x2 y2

y x

x2 y2

x y

Завдання 6.7 Знайти градієнт функції z x3

y3 3xy в точці

A 2; 1 та

її похідну за напрямом вектора a 3 i 4 j .

Розв’язання

Градієнт функції z в точці A - це вектор, що визначається формулою

6. 3

grad z

Знайдемо частинні похідні функції:

3x2

3y ; z 3y2 3x . Обчис-

лимо їх значення в точці A: z

Таким чином, gradz

9 i 3 j .

Похідна функції z f x; y в точці

A в напрямі вектора a ax i ay j

обчислюється за формулою:

cos

cos ,

6. 4

де cos і cos - напрямні косинуси вектора a ax i ay j . Знайдемо напря-

мні косинуси за формулами: cos ax ; cos ay .

Маємо: cos

;

cos

. Тоді за формулою 6. 4 ма-

32 4 2

ємо:

7,8 .

Завдання 6.8 Записати рівняння дотичної площини та нормалі до повер-

хні x2 y2

xy 7 0 в точці M

x ; 1; 2 , де

x 0 . В яких точках по-

верхні дотична площина та нормаль не існують?

Розв’язання

Знайдемо спочатку абсцису точки дотику M 0 , підставивши відомі коор-

динати в рівняння поверхні. Маємо:

x2 x 2 0 ,

звідки

x 2

або x 1.

Враховуючи умову x0 0 вибираємо точку дотику -

M0 2; 1; 2 .

Відомо, що рівняння дотичної площини до поверхні F x; y; z 0 в точці

M0 x0;

y0; z0 має вигляд:

x x

y y

z z

0 .

6. 5

Знайдемо частинні похідні:

2x y ;

F 2 y x

; F 2z . Обчис-

лимо їх значення в точці M

: F

4 . Тоді за фор-

6. 5

мулою

дотична

площина

задається

рівнянням

3 x 2 0 y 1 4 z 2 0 або

3x 4z 14 0 .

Нормаль до поверхні F x; y; z в точці M0 x0;

y0; z0

задається каноніч-

ними рівняннями

x x0

y y0

6. 6

Тоді рівняння нормалі:

x 2

y 1

z 2

Дотична площина і нормаль не існують в тих точках поверхні, де всі частинні похідні функції F x; y; z дорівнюють нулю, або не існує хоча б одна з

	2x y 0,
них. Прирівнявши до нуля частинні похідні, одержимо:		0,	Її
них. Прирівнявши до нуля частинні похідні, одержимо:	2 y x	0,	Її
	2z 0.

розв’язок: x y z 0 . Оскільки точка з такими координатами не лежить на поверхні, то на ній немає точок, де не існують дотична площина та нормаль.

Завдання для самостійного розв’язування

Завдання 6.9 Знайти частинні похідні першого порядку для функцій:

z 3x2 y3

2xy5 ;

z 3sin x x ln y 7 ;

z 3 1 2y 4x2 y3 8arccos3x

x 2

; z y

ln2 y

3x 4 3 .

; z

3xy 4

cos y

1 3x

tg y

z 3x

sin x ; z 3y x3 arctgx ;

z 4x 2x2 y 5ln x 4

y .

5x 8 y

1 2x

; z

5 3x2 y

y sin 3x

;

2 y3

x ln y

x cos5y

z x y cosy

x 2

lny

2 x 1

x 2

lg y

z x2

5y ;

;

3sin

;

3x 5

z ln x2 y2

; z sin x3 y2 ; z 3y arcsin

; z

4x 5 y

y3 2

z 3

;

z 5y3 4log5 x 7 ;

z arctg4 yx ; z ecos2 4 x 9 y .

ctg xy

1 tg

arccos 2x y

2x 5

z ecos x 3x y2 ;

;

y ln x

zx2

u x2 cos z 2x 3 y2

4yz2 ; u 8 5x4 y3

z z ; u 3 y

5 y x .

Завдання 6.10 Знайти частинні похідні другого порядку для функцій:

1) z x3 2 y3 5x2 y 4x y ; 2) z x y 2 y 1; 3) z

3x2 y ln y

2x 5y

; 5)

z sin2 3x 2y .

Завдання 6.11 Знайти похідні складених функцій. 1) Знайти dzdt , якщо z x2 y2 , x cos3t, y sin3t . 2) Знайти dxdz , якщо z arctg x2 y , y e2 x .

3) Знайти

, якщо

z e2 x ctgy,

y 3u 2v .

Завдання 6.12 Знайти похідну

показниково-степеневої функції.

y x 2 3x ; 2)

y sin x cos x ; 3)

1 ln x ; 4) y

x ex

x ;

tg2 x

arctg

x 1 x 2

y 4x sin 3x x ; 8)

; 6)

3 x

; 7)

y x

Завдання 6.13 Знайти похідну

функції заданої неявно.

2xy2 sin x 3tgy 0; 2) 4y cos 2x x

y x3 ; 3) xey

yex exy ;

xy ln ex 2ey 1; 5)

yx 2x 3 siny

0 ;

x 7

3x2 y2

3 x ;

2 y 1

sin2 2x

x2 cos 2 y

; 8) 3

2 tg

y ; 9)

arctg xy ln x2

ctg5y

Завдання 6.14 Для функції z f x; y

або u f x; y; z

знайти градієнт

в точці A та похідну в цій точці в напрямі вектора a .

z 2xy3

e1 y , A 2; 1 , a 3; 1 ; 2)

y2 1

, A 1;2 , a 6 i 8 j ;

2x3

z ln 2x 3y , A 4;1 , a 2 i 5 j

; 4)

z e x2 4 y , A 3;0 , a grad z

;

u x2 y3 2xz2 3yz3, A 1; 1; 2 , a 2 i 2 j k ;

u sin x 2 y 3z 6cos

, A ;

;

, a i 3 j 2 k .

Завдання 6.15 Записати рівняння дотичної площини та нормалі до заданої поверхні в точці M 0 .

1)y2 z2 x 2 5 0, M 0 x0 ;4;4 ; 2) 2x2 y 3xz2 z3 0, M0 2; y0; 2

2)x y z 4, M0 1; y0;1 ; 3) z arctg xy , M0 1; 1; z0 ;

4) z x2 y2 xy, M0 3; 4; z0 .

Тема 7. Екстремум функції двох змінних.

Завдання 7.1 Дослідити на екстремум функцію z 2x3

Розв’язання Застосуємо схему дослідження функції на екстремум:

1) знайдемо частинні похідні z і z ;x y

2) знайдемо критичні точки (тобто точки, в яких z z

x y

хоча б одна з них);

3) знайдемо частинні похідні другого порядку 2 z , 2 z ,

x2 y2

	2 z	2 z	2 z	2
функцію двох змінних					;
функцію двох змінних					;
	x2	y2	x y

4x2 y2 2xy .

0 або не існує

2 z і складемо

x y

4) перевіримо виконання достатньої умови екстремуму в кожній з критичних точок, а саме, якщо в критичній точці 0 , то вона є точкою екстремуму, якщо 0 , то це не точка екстремуму;

5) в точках екстремуму знайдемо значення

2 z

(якщо

2 z

0 , то це то-

чка мінімуму, якщо

2 z

- точка максимуму).

z 6x2 8x 2 y ;

2 y 2x .

2) Оскільки частинні похідні визначені при будь-яких значеннях x і y ,

то критичними

точками є

розв’язки системи

рівнянь

6x2

8x 2 y 0,

2 y

Розв’язавши її одержимо: M 0;0 , N 1; 1 - критичні точки.

2 z

12x 8, 2 z 2,

2 z

2 . 2 12x 8 4 24x 12 .

x y

M 12 0 ,

отже M - точка екстремуму;

N 12 0 , отже N не є

точкою екстремуму.

2 z

8 0 , тоді M - точка мінімуму;

min

M 0 .

Знайти

найбільше та

найменше значення

функції

Завдання

7.2

z x2 2 y2 4xy 6x в області D обмеженій лініями:

x 0, y 0, x y 3 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20191.06 Mб13Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю..pdf
#
06.06.2019936.32 Кб9Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015.pdf
#
06.06.2019790.78 Кб14Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік.pdf
#
06.06.2019887.48 Кб16Диференціальні рівняння. Дреков В.М..pdf
#
06.06.2019553.63 Кб11Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005.pdf
#
06.06.2019431.19 Кб5кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
06.06.20193.67 Mб60Лекции для ЗО.doc