Свойства вероятности события

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.е..

3. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е..

№33

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота событияА определяется формулой

W(A)=m/n,

где т — число появлений события,п — общее число испытаний.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число,близкое к ней.Например, если в результате достаточно большого числа испытании оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности.

Полагают, что имеется область Ω и в ней область A. На Ω наудачу бросается точка. Событие А – попадание точки в область А.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области Ω, т.е.

P(A) =  ;

Область Ω может быть одномерной, двумерной, трехмерной и n-мерной

№34

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А,или события В,или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А —попадание при первом выстреле, В—попадание при втором выстреле, то А +В—попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Вчастности, если два события А иВ—несовместные,то

А+ В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событиеА + В + С состоит в появлении следующих событий:А, В, С, А иВ, А и С,В иС,А иВ иС.

Пусть события А иВ — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событиеА, либо событиеВ? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) =P(A) +P(B).

№35

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено черезА, то другое принято обозначатьA .

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна едини-

це:Р(А) +Р(A )=1.

Теорема о вероятности полной группы событий

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:

Таким образом сумма событий А₁, А₂…А_n есть событие достоверное.

№36

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В,С—появление «орла» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC —выпадение «орла» во всех трех испытаниях.

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность событияВ, вычисленную в предположении, что событиеА уже наступило.

Условная вероятность событияВ при условии, что событиеA уже наступило, по определению, равна

РА(В)= Р(АВ)/Р(А) (Р(A) 0).