Лабораторная работа № 2.14. Определение универсальной газовой постоянной r
Цель работы: экспериментальное определение универсальной газовой постоянной R, используя в качестве идеального газа воздух при комнатной температуре, определение числа молекул в единице объёма, среднего числа столкновений и средней длины свободного пробега молекул при различных давлениях.
Оборудование: стеклянная колба в тканевом мешочке, электронные весы, манометр, насос Комовского, тройник, резиновые соединительные трубки, зажим металлический.
Основные понятия и определения
Состояние некоторой массы газа определяется значением трёх основных параметров: давлением p, температурой T, объёмом V. Уравнение состояния идеального газа Клапейрона – Менделеева имеет вид:
, (1)
где: – число молей, – молярная масса газа, N – число частиц, R – универсальная газовая постоянная, равная 8,31441 Дж/мольּ К. Молярная масса численно равна массе одного моля, т.е. массе NА= 6,02ּ1023 моль-1 частиц данного вещества. Число NА называется числом Авогадро и может быть определено так:
(2)
где m0 – масса молекулы. В системе СИ размерность молярной массы [ ]=кг/моль. Молярная масса вещества, выраженная в «г/моль», совпадает с молекулярной массой, т.е. массой молекулы, выраженной в атомных единицах массы (а.е.м.).
Атомная единица массы равна 1/12 массы изотопа углерода C12, что в единицах системы СИ составляет 1,66057ּ10-27 кг, т.е.
.
Так, масса молекулы кислорода в атомных единицах равна: m0=32 а.е.м. Масса молекулы кислорода, выраженная в граммах, равна m0=32ּ1,66ּ10-24 г. Молярная масса кислорода .
В связи со сказанным, отметим, что число, стоящее внизу символа химического элемента периодической системы Менделеева выражает: 1) массу атома в атомных единицах массы (а.е.м.); 2) массу одного моля атомов данного вещества, выраженную в граммах (г/моль).
Очевидно, что для одного моля газа уравнения (1) примет вид:
(3)
где – объём одного моля газа. С другой стороны, согласно основному уравнению молекулярно – кинетической теории, давление газа p равно:
(4)
где n – число молекул в единице объёма (концентрация), – средняя кинетическая энергия одной молекулы газа. Решая совместно (3) и (4) с учётом, что получим для средней кинетической энергии одной молекулы выражение:
(5)
где – постоянная Больцмана, = 1,380662 ּ10-23 Дж/K.
Методика эксперимента
Воздух представляет собой смесь газов: 78,1% – азота, 21,% – кислорода и около 1% приходится на долю остальных газов. Результаты многочисленных опытов и расчётов показывают, что молярная масса сухого воздуха равна 0,029 кг/моль. Универсальную газовую постоянную можно найти, используя уравнение Клапейрона – Менделеева:
. (6)
Все параметры газа, входящие в это уравнение, можно измерить непосредственно, за исключением массы газа, так как взвешивание газа возможно только с сосудом, в котором он заключён. Поэтому для определения R с помощью уравнения (1) необходимо при взвешивании газа исключить массу сосуда. Это можно сделать, рассмотрев уравнение состояния двух масс одного и того же газа при неизменных тепературе Т и объёме V:
, . (7)
Совместное решение этих уравнений даёт следующий результат:
(8)
Следовательно, если определить давление р1 и температуру Т для некоторой массы газа m1, заключённого в сосуд объёмом V, затем изменить массу газа до некоторой величины m2 (например, путём откачки или накачки) и вновь определить давление р2 при той же температуре Т, то по формуле (8) легко рассчитать универсальную газовую постоянную R.
Известно, что давление смеси идеальных газов р связано с температурой Т и концентрациями газов законом Дальтона:
p=n1kT+n2 kT+…+nrkT=(n1+n2+…+nr)kT=nkT, (9)
где n – концентрация молекул воздуха в данном объёме.
Манометр измеряет разницу Δр между атмосферным давлением р1 и давлением в колбе р2. Рассчитав давление в колбе р2:
р2=Δp+р1, (при накачке) (10)
р2=р1 – Δp (при откачке),
можно найти концентрацию молекул воздуха n в колбе из формулы (9):
. (11)
Длина свободного пробега определяется известной формулой:
(12)
где – средняя скорость молекулы воздуха, равная:
(13)
где z – среднее число столкновений молекулы в единице объёма в секунду, равное:
(14)
где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация газа. Подставив (14) в (12), можно получить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха:
(15)
где d=0,374 нм – эффективный диаметр молекул воздуха.
Явления переноса в идеальном газе можно характеризовать коэффициентом самодиффузии D:
(16)
Очевидно, что D обратно пропорционален давлению газа, поскольку
Коэффициент вязкости :
(17)
где m0 – масса молекулы газа, – плотность газа.
Коэффициент теплопроводности :
(18)
где Cv – удельная теплоёмкость.
Коэффициент вязкости и теплопроводности не зависят от давления, т.к. в произведении давление сокращается. Все три коэффициента: D, , согласно формулам (16-18) должны меняться пропорционально квадратному корню из температуры (т.к. ). В действительности эти коэффициенты растут с повышением температуры несколько быстрее, чем , т.к. с ростом температуры уменьшается эффективное поперечное сечение молекул и поэтому растёт длина свободного пробега.
Очевидно, что между коэффициентами D, , существуют простые соотношения: