4. Множества мощности континуума и выше

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение – с. Любое множество, имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue – продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд, если отрезок прямой имеет мощность континуума, то множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

Теорема 2.2. Открытый единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

Доказательство. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x, y). Пусть в десятичном представлении x = 0,a₁a₂a₃..., а y = 0,b₁b₂b₃... . Образуем число z = f(x, y) = = 0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону.

Возьмем две различные точки квадрата А = (x₁, y₁) и B = (x₂, y₂) и определим z_A = f(A), z_B = f(B). Ясно, что при А ≠ В либо x₁  x₂ либо y₁  y₂, А раз так, то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z_A  z_B. Значит, две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Поэтому отображение f инъективно. 

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно однозначно.

Тем не менее, множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

Теорема 2.3. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

Доказательство. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aА. Поставим каждой точке аА в соответствие функцию f_a(x)В и рассмотрим полученное множество

B₁ = { f_a(x)B | aA } B.

Очевидно, что нами установлено взаимно однозначное отображение А  В₁. Следовательно, | A | = | B₁ |, а значит | A |  | B |. Покажем, что | A |  | B|. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В.

Предположим противное, что существует биективное отображение   : А  В, которое каждому аА ставит в соответствие элемент bВ и обратно, каждой функции из B – элемент множества A. Обозначим  (a) = f^(a)(x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f^(а)(x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f^(а)(x) равно 0 или 1, тогда это свойством обладает и функция g(x). Следовательно, g(x)В. Значит, по предположению, существует такая точка bА, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x) = f^(b)(x). Возьмем х = b, тогда получим

g(b) = 1 – f^(b)(b) = f^(b)(b).

Отсюда f^(b)(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f^(b)(x) множеству В.

Поэтому, такого отображения  не существует. Значит, | A |  | B | и | A |  | B|, т.е. мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности, чем А получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Множество всех подмножеств некоторого множества A называется булеаном и обозначается 2^A (2^A={ C | C  A}). Тогда m(2^A) = 2^|A|.

Множество, мощность которого равна 2^c, называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им.