2.1 Статически определимые и неопределимые задачи

Для каждой системы сил можно составить определенное число уравнений равновесия — от одного для системы сил, имеющих общую линию действия, до шести для произвольной пространственной системы сил. Очевидно, что для однозначного определения неизвестных величин их число должно быть равно числу уравнений.

Задачи статики, в которых число неизвестных величин равно числу уравнений равновесия, составленных для данной системы сил, называют статически определимыми. Если же число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то такую задачу методами статики (составлением уравнений равновесия) решить невозможно, так как получается неопределенность: части неизвестных можно придать любое значение, тогда остальные числом, равным числу уравнений равновесия, определяются однозначно.

Например, на рис. 9 тело подвешено на четырех расположенных в одной плоскости и непараллельных стержнях, на концах которых предусмотрены шарниры. Реакции таких стержней, действующие на тело, направлены вдоль последних. Имеем плоскую произвольную систему сил, для которой можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, одна из сил «лишняя» (например, Т₄), и ей можно приписать некоторое произвольное значение, после чего из уравнений равновесия находятся остальные (Т₁...Т₂). Д ействительно, предположим, что вначале тело подвешено на двух стержнях 1 и 2. Такое тело может перемещаться в плоскости расположения стержней. Пусть траектория точки С, принадлежащей телу, есть m - m. Если к этой точке присоединить стержень 3, то траекторией его конечной точки С¹ служит дуга окружности п - п с радиусом, равным длине стержня. При несовпадении траекторий точек С и С¹ установка третьего стержня фиксирует положение тела, которое становится однозначно определенным. В этом случае установка четвертого стержня является излишней и будет сопровождаться трудностями из-за необходимости точно выдержать длину стержня равной фиксированному расстоянию АВ. Если стержень 4 короче или длиннее АВ, то для установки этого стержня потребуется его деформация — удлинение или укорочение, что связано с необходимостью отказа от гипотезы об абсолютно твердых телах, рассматриваемых в статике.

Если рассматривается равновесие сочлененных систем, то ее делят на части, прикладывая в местах разделения попарно противоположные и равные силы. Если всего п частей, то можно либо составлять уравнения равновесия для всей системы и п — 1 части, либо же только для п частей. Рассмотрим решение подобной системы на примере.

Пример 4 Определение опорных реакций в пятовых шарнирах А и В и усилия в ключевом шарнире С трехшарнирной арки рис. 10, а) под действием сил и .

Рис.10 Реакции в пятовых шарнирах трехшарнирной балки

Решение. Берем сначала всю систему. Так как в шарнирах направления реакций заранее неизвестны, мы вводим их составляющие — горизонтальную X и вертикальную Y:

Отсюда .

Разрезаем систему по шарниру С, отбрасываем правую часть и вводим силы , (левая часть представлена отдельно, рис. 10,б):

Отсюда

Если бы мы составляли уравнения равновесия также и для правой части, то в точке С ввели бы силы , , направленные противоположно соответствующим силам, действующим на левую часть.