§ 1.1. Поняття та властивості похідної

Розглянемо функцію , яка визначена і неперервна на інтервалі (a,b). Нехай – фіксована внутрішня точка вказаного інтервалу. Дамо аргументу х приріст в точці . Вважаємо, що нова точка також належить інтервалу (a,b). Функція y дістане приріст . Якщо існує границя відношення приросту функції до приросту аргументу при , тобто якщо існує границя то вона називається похідною функції в точці і позначається або (можливі і інші позначення). Таким чином

(1.1)

Похідна характеризує швидкість зміни функції у.

Знаходження похідної називається також диференціюванням функції.

Приклад 1. Знайти похідну функції в точці .

Розв’язання.

Використовуючи означення можемо записати:

,

.

У загальному випадку похідна функції у довільній точці х (якщо вона існує) позначається одним із символів .

При розв’язанні практичних задач для визначення похідної застосовується не саме означення, а таблиця похідних, основні властивості похідної і різні методи диференціювання.

Таблиця похідних:

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12. ;

5. 13.

6. ; 14.

7. 15.

8. ; 16. .

Приклад 2. Довести, що .

Розв’язання. Відмітимо, що функція визначена і неперервна на інтервалі . Використовуючи одну з тригонометричних формул, дістаємо

.

Знайдемо границю (застосовано другу чудову границю):

.

Отже .

Приклад 3. Знайти похідну для наступних функцій:

a) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Розв’язання. За допомогою таблиці похідних маємо

а) б)

в) г)

д) .

Основні властивості похідної:

1. 3.

2. 4.

де с – стала; u, v – функції від х.

Приклад 4. Знайти похідні функцій:

а) б) в)

Розв’язання: Використовуючи основні властивості і таблицю похідних, дістаємо:

а)

б)

в)

.

Геометричний зміст похідної полягає у тому, що похідна функції у точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці , тобто (рис. 1).

Приклад 5. До кривої у точці з абсцисою проведена дотична. Знайти кут між цією дотичною і додатнім напрямом осі Ох.

Розв’язання. Знайдемо спочатку похідну у заданій точці:

.

Шуканий кут визначається рівністю (геометричний зміст прохідної) . Отже .

§1.2. Похідна складної функції і функції, заданої параметрично

Розглянемо складну функцію, тобто функцію, яка задана у вигляді де (або ). Похідна від такої функції (якщо вона існує ) шукається за формулою:

_. (2.1)

При використанні формули (2.1) після диференціювання замість проміжної змінної u необхідно підставити . З формули (2.1) випливає наступне правило диференціювання складної функції: похідна складної функції дорівнює добутку похідної від зовнішньої функції по проміжній змінній на похідну від проміжної по незалежній змінній.

Приклад 1. Знайти , якщо:

а) б) .

Розв’язання. а) Задану функцію можна представити у вигляді , де . Згідно з формулою (2.1), маємо

.

б) Аналогічно попередньому ;

_.

У більш загальному випадку складна функція представляє собою суперпозіцію декількох елементарних функцій. Наприклад функція може мати вигляд (або ). У цьому випадку справедлива формула

_{. (2.2)}

_{Підкреслимо, що добуток правої частини останньої рівності складається з похідних від кожної із задіяних функцій по відповідній змінній.}

Приклад 2. Здиференціювати функції:

а) б) .

Розв’язання. а) Задану функцію можемо представити у вигляді . На основі (2.2) маємо

_.

б) При оформленні розв’язків проміжні змінні вводити не обов’язково. Беручі послідовно похідні від показникової, степенової і тригонометричної функцій, отримуємо

.

Якщо функція задана параметрично, тобто у вигляді то похідна від у по х визначається за формулою

(2.3)

У формулі (2.3) і надалі індекс знизу вказує змінну, по якій береться похідна.

Приклад 3. Знайти похідні :

а) б)

Розв’язання. На основі (2.3) маємо

а) б)