- •З.Н. Есина практикум по физике Учебное пособие Кемерово 2010
- •Предисловие
- •Раздел I.Физические основы механики
- •1.1. Основные формулы
- •19. Связь разности фаз колебаний с расстоянием между точками среды , отсчитанными в направлении распространения колебаний ,
- •1.2. Примеры решения задач
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел II.Молекулярная физика. Термодинамика
- •2.1. Основные формулы
- •2.2. Примеры решения задач
- •2.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел III.Электростатика. Постоянный ток
- •3.1. Основные формулы (в единицах си)
- •3.2. Примеры решения задач
- •З.З. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел IV.Электромагнитизм
- •4.1. Основные формулы
- •4.2. Примеры решения задач
- •4.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Раздел V.Оптика
- •5.1. Уравнения и формулы
- •5.2. Примеры решения задач
- •5.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
- •Справочные таблицы
- •1. Основные физические постоянные
- •2. Диэлектрическая проницаемость
- •3. Удельное сопротивление проводников
- •4. Плотность твёрдых тел
- •5. Плотность жидкостей
- •11. Массы атомов лёгких изотопов
- •12. Масса и энергия покоя некоторых частиц
- •13. Единицы си, имеющие специальные наименования
- •14. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименования
2.2. Примеры решения задач
Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды, массу молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.
Решение: Число N молекул, содержащихся в некоторой массе равно произведению числа Авогадро на количество вещества :
так как количество вещества:
μ - молярная масса, то
Выразив в этой формуле массу, как произведение плотности на объем V, получим
. (1)
Подставим в формулу (1) следующие значения величин: = 103 кг/м3,
V = 1 мм3 = м , μ = кг/моль, = моль и произведем вычисления:
молекул = 3,34 1019молекул.
Массу , одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:
Подставим сюда числовые значения μ и и найдем массу молекулы воды:
кг = кг.
Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) , где d - диаметр молекулы воды. Отсюда
(2)
Объем найдем, разделив молярный объем на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро :
Подставим полученное выражение в формулу (2):
Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением , тогда искомый диаметр молекулы:
(3)
Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:
Теперь подставим числовые значения физических величин в формулу (3) и произведем вычисления:
Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением Р = 1 МПа и при температуре Т = 300 К. После того, как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т = 290 К. Определить давление Р гелия, оставшегося в баллоне.
Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:
(1)
где - масса гелия в баллоне в конечном состоянии, μ - молярная масса гелия, R - универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление Р .
(2)
Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию и массу m гелия, взятого из баллона:
(3)
Массу гелия m найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию
(4)
Подставляя в выражение (3) массу из формулы (4), а затем полученное выражение в формулу (2), найдем:
После преобразования и сокращения находим:
(5)
Левая часть расчётной формулы (5) выражает давление, имеет размерность . Проверим размерность правой части. Размерность первого слагаемого не вызывает сомнения, т.к. отношение температур – величина безразмерная. Размерность второго слагаемого:
что совпадает с размерностью давления.
Убедившись в том, что размерность правой и левой частей формулы (5) одинаковы, выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ и произведем вычисления:
P1 = 1 МПа =106 Па, , ,
R = 8,31 Дж/(мольК), T1 = 300 К, T2 = 290 К,
V = 10 л = 10-2 м3,
Пример 3. Баллон содержит = 80 г кислорода и = 320 г аргона. Давление смеси Р = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.
Решение. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятым смесью. По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления кислорода и аргона выражается формулами:
Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов
откуда объем баллона:
Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу m1 = 80 г = 0,8 кг, , m2 = 330 г = 0,33 кг, , 2 = 40 10-3 кг/моль, P1 = 1 МПа = 106 Па, R = 8,31 Дж/(мольК), подставим числовые значения в формулу и произведем вычисления:
Пример 4. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.
Решение: Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия , где - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой:
(1)
Подставив в формулу (1) значение и T = 350 К получим . Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством:
(2)
Число всех молекул газа можно вычислить по формуле:
(3)
где число Авогадро, - количество вещества. Если учесть, что количество вещества , где - масса газа, μ - молярная масса газа, то формула (3) примет вид:
Подставив это выражение в формулу (2) получим:
(4)
Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ:
, , , . Подставив эти значения в формулу (4), найдем:
Пример 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Решение: Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами
(1)
(2)
где - число степеней свободы молекул газа, - молярная масса. Для неона (одноатомный газ) , кг/моль (см. справочную таблицу). Вычисляя по формулам (1) и (2), получим:
Для водорода (двухатомный газ) , кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:
Пример 6. Вычислить удельные теплоемкости и смеси неона и водорода, если массовая доля неона = 80%, массовая доля водорода = 20%. Значение удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.
Решение: Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на , выразим двумя способами.
(1)
(2)
где - удельная теплоемкость неона, - удельная теплоемкость водорода. Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на . получим:
отсюда
(3)
или
(4)
где и - массовые доли неона и водорода в смеси. Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем:
Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
(5)
Подставим в формулу (5) числовые значения величин:
Пример 7. Кислород массой m = 2 кг занимает объем равный V = 1 м3 и находится под давлением P = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления Р = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q , переданную газу. Построить график процесса.
Решение: Изменение внутренней энергии газа выражается формулой:
(1)
где i - число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), μ - молярная масса. Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева:
(2)
Выпишем заданные величины в единицах системы СИ: , кг/моль, = 8,31 Дж/моль К, V = 1 м , V2 = V3 = 3 м 3, P = P2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, Р = 0,5 МПа = 5 105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:
;
; .
Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него и выполняя арифметические действия, находим:
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой:
Подставим числовые значения величин, получим:
.
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. . Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна
= Дж.
Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы A: , следовательно .
Пример 8. Тепловая машина работает по обратному циклу Карно. Температура нагревателя T = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.
Решение: Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использованной теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой:
где Q - теплота, полученная от нагревателя, А - работа, совершаемая рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим
Зная КПД цикла, можно по формуле определить температуру охладителя Т2:
Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуры T нагревателя, получим:
Пример 9. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?
Решение: Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности - внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление, где - . где радиус пузыря. Так как , то . Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды 40 мН/м (см. справочную табл.) диаметр пузыря = 10 см = 0,1 м.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить её поверхность на , выражается формулой
В данном случае - общая площадь двух сферических поверхностей пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря, пренебрегая , получим
Подставив числовые значения величин, получим:
.