2.2. Теорема Безу и схема Горнера
Если
делить некоторый целочисленный многочлен
на разность
,
(то есть на многочлен первой степени),
то остаток
от деления ‘г’ будет либо нуль, либо
число, отличное от нуля (многочлен
нулевой степени). Теорема Безу позволяет
найти этот остаток,
не выполняя самого процесса деления.
Теорема
Безу: остаток ‘г’ от
деления многочлена
на линейный многочлен
равен значению
многочлена
при
.
Действительно,
пусть
;
при
имеем:
,
что и доказывает теорему.
Рассмотрим деление суммы или разности одинаковых степеней на сумму или разность их оснований.
1).
Пусть
,
;
- остаток от деления; тогда:
при
:
;
при
:
;
при
:
;
при : .
2).
Пусть
,
;
тогда:
при : ;
при : ;
при
:
;
при : .
Все
эти соотношения легко проверяются по
теореме Безу. В итоге имеем вывод:
разность
делится на разность оснований при
,
та же разность
делится на сумму оснований только при
четном
,
а сумма
делится на сумму оснований только при
нечетном
.
Очень важным является следствие из теоремы Безу: число ‘с’ тогда и только тогда будет корнем многочлена (уравнения ), если делится на разность .
При
делении многочлена на линейный двучлен
можно использовать
метод, более простой, чем общий алгоритм
деления многочленов
«уголком». Этот метод называется схемой
Горнера
и заключается
в следующем. Пусть в соотношении (2.4):
- участвующие многочлены имеют вид:
;
;
;
;
а неполное частное
,
то есть имеем:
(2.6) 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в этом соотношении, получим:
(2.7) 
Таким
образом, начальные коэффициенты искомого
и
исходного
многочленов равны
,
все
последующие коэффициенты искомого
многочлена
получаются
умножением предыдущего коэффициента
на ‘c’
и прибавлением соответствующего
коэффициента
,
то есть
;
остаток
получается по такому же правилу. Эти
вычисления удобно производить, заполняя
приведенную ниже таблицу, которая
и называется схемой Горнера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В верхней строке таблицы записываем известные коэффициенты многочлена f(x); ниже пишем получаемые по формулам (2.7) соответствующие коэффициенты искомого многочлена и остаток от деления; слева сбоку размещаем число ‘c’.
Пример
2.2. Разделить f(x)
на разность x-3, если
Решение. Составляем схему Горнера:
|
2 |
-1 |
-3 |
0 |
1 |
-3 |
|
2 |
5 |
12 |
36 |
109 |
324 |
Ответ:
;
.
Замечание: остаток ‘r’ равен значению искомого многочлена f(x) при x=c, то есть r=f(с), а потому схема Горнера может применяться и для быстрого нахождения частных значений многочлена f(x) при различных ‘c’.
Упражнения 2.2. Разделить многочлен f(x) на разность x-c, если:
а). 
б). 
