Лабораторна робота №4 Регресія у вигляді багаточлена

Мета: Ознайомитися з методикою побудови регресійних моделей у вигляді многочлена.

Завдання 1

Нехай відома таблиця попиту:

рі	р1	р2	...	рn
di	d1	d2	…	dn

Вводимо гіпотезу, що між ціною Р та величиною попиту D існує стохастична залежність вигляду: = a₀ + a₁*P + a₂*P².

Як бачимо, залежність показника Y від фактору Х має форму багаточлена. Використовуючи метод найменших квадратів, знайти оцінки параметрів моделі:

• записати систему для знаходження параметрів регресії у вигляді многочлена;

• використовуючи функції Excel МОБР() та МУМНОЖ() розв’язати отриману систему;

• записати отриману модель.

Оцінити адекватність побудованої моделі за допомогою критерія Фішера.

Знайти розрахункові значення попиту, товарообіг, сукупні витрати та прибуток підприємства.

Знайти оптимальні значення ціни за критеріями «максимальний прибуток» та «максимальний товарообіг».

Виконання лабораторної роботи

1 крок. Обчислення параметрів моделі.

Для обчислення параметрів скористаємося методом найменших квадратів. Для регресії у вигляді многочлена другого степеня система нормальних рівнянь має такий вигляд:

Виконаємо допоміжні обчислення: знайдемо Σp_{i ,} Σp_i², Σp_i³, Σp_i⁴, Σd_i, Σp_i*d_i, Σp_i²*d_i. Розрахунки представимо у вигляді таблиці:

p	D	p^2	p^3	p^4	pD	p^2*D
1	10,00	1,00	1,00	1,00	10	10
2	8,12	4,00	8,00	16,00	16,24	32,48
3	6,68	9,00	27,00	81,00	20,04	60,12
4	7,70	16,00	64,00	256,00	30,8	123,2
5	5,64	25,00	125,00	625,00	28,2	141
6	6,33	36,00	216,00	1296,00	37,98	227,88
7	3,93	49,00	343,00	2401,00	27,51	192,57
8	4,46	64,00	512,00	4096,00	35,68	285,44
9	2,64	81,00	729,00	6561,00	23,76	213,84
10	2,26	100,00	1000,00	10000,00	22,6	226
11	1,57	121,00	1331,00	14641,00	17,27	189,97
66,00	59,33	506,00	4356,00	39974,00	270,08	1702,50

В нижньому рядку обчислено суми по стовпчикам.

Отримали систему:

Розв’яжемо її матричним методом: Х=А^-1В, де

	11	66	506
А=	66	506	4356
	506	4356	39974

	59,33
В=	270,08
	1702,5

- знайдемо А^-1 за допомогою функції МОБР()

	1,206061	-0,41818	0,030303
А-1	-0,41818	0,176923	-0,01399
	0,030303	-0,01399	0,001166

- обчислимо параметри:

10,20394

-0,83853

0,004802

Х=А^-1В=

Тобто а_­0=10,2; а_­1=-0,8385; а_­2=0,0048.

Перевіримо отримані результати за допомогою функції «Додати лінію тренду» (вибрати поліноміальну функцію 2-го порядку):

Обчислимо розрахункові значення попиту (стовпчик) = a₀ + a₁*P + a₂*P².

2 крок.

Функція «Додати лінію тренду» дозволяє крім рівняння вивести також квадрат індексу кореляції для отриманої моделі. За його допомогою обчислимо значення критерія Фішера

3 крок

Значення коефіцієнту еластичності (стовпчик) знаходимо за формулою

4 крок

Товарообіг у грошовому виразі знаходимо за формулою (стовпчик):

Z = *P = a₀*P + a₁*P² + a₂*P³.

5 крок

Для знаходження інтервалів зростання та спадання товарообігу обчислимо критичні значення ціни

Р_1,2 = (-а₁ ± )/(3*a₂).

Одне з цих значень обов’язково повинно попадати в інтервал [1;11]. Це і буде ціна, за якої товарообіг у грошовому виразі буде максимальним.

6 крок

Знайдемо сукупні витрати (стовпчик) V=C+ V₁ за умови, що

C=10-постійні витрати , V₁ =2 – змінні витрати

7 крок

Прибуток від реалізації товару (стовпчик) визначаємо за формулою F= Z-V

8 крок

Для знаходження інтервалів зростання та спадання прибутку обчислимо критичні значення ціни

Р_3,4 = (V₁*a₂-a₁­±0,5* )/(3*a₂)

де D = 4*[(a₁ – V₁*a₂)² + 3*a₂*(V₁*a₁ – a₀)]

Якщо, наприклад, p₄ знаходиться в межах від 1 до 11, то це ціна, за якої прибуток є максимальним. Визначимо яким буде при цій ціні попит

d₁ = a₀ + a₁*p₄ + a₂*p₄²,

та максимальний прибуток:

F(p₄) =a₂*p₄³ + (a₁ – V*a₂)*p₄² + (a₀ – V*a₁)*p₄ – C - V*a₀.

Залишилося побудувати графіки

1) Z, V, F

2) D, , Kel, Z

та зробити висновки.

Висновки по лабораторній роботі пишемо за питаннями:

1. Регресія якого виду побудована в даній лабораторній роботі?

2. Який метод використовувався для знаходження параметрів моделі?

3. Запишіть отриману модель.

4. Запишіть проміжки зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні.

5. Якою повинна бути ціна на товар, за якої товарообіг у грошовому вираженні є максимальним?

6. За якої ціни на товар прибуток є максимальним?

7. Вкажіть проміжки цін зростання та спадання прибутку.

8. За яких значень ціни на товар попит є елестичним, за яких нееластичним?

9. Вкажіть ціну для оптимального попиту.

Додаток 1