МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.С. УРБАНОВИЧ

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ

Учебно-методическое пособие

ИЖЕВСК, 2009

УДК 539.4(7)

Составитель:

В.С. Урбанович, кандидат технических наук, доцент, заслуженный работник народного образования УР

Рецензент: С.В. Добровольский, доктор технических наук, профессор.

Расчеты на прочность и жесткость при сложном нагружении. – Учебно-методическое пособие. – Ижевск: ИжГТУ, 2009. - С.

В учебно-методическом пособии приведены основные теоретические положения, варианты заданий и пример выполнения расчетов пространственной рамы.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов ИжГТУ при выполнении расчетно-проектировочных работ курса “Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности”.

© ИжГТУ, 2009

Содержание

1. Краткие сведения из теории	4
2. Пример типового расчета	21
3. Варианты расчетно-проектировочных работ “Расчет пространственной рамы на изгиб с кручением”	35
4. Приложения	37
5. Список литературы	38

1. Краткие сведения из теории

Брус находятся в условиях сложного сопротивления, если в поперечных сечениях одновременно не равны нуле несколько внут­ренних силовых факторов.

Наибольший практический интерес представляют следующие случаи сложного нагружения:

1. Косой изгиб.

2. Изгиб с растяжением или сжатием, когда в поперечном сечении возникают продольная сила и изгибающие моменты, как, например, при внецентренном сжатии бруса.

3. Изгиб с кручением, характеризующийся наличием в попе­ речных сечениях изгибающего (или двух изгибающих) и крутящего моментов.

1. Косой изгиб.

Косой изгиб - это такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не совпадает ни с одной из главных осей инерции. Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух главных плоскостях zoy и zox, где ось z - ось бруса, а оси х и у - главные центральные оси поперечного сечения.

Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную силой Р (рис. 1).

Разложив силу Р по главным центральным осям поперечно­го сечения, получим:

Р_у=Рcos φ, Р_х=Рsin φ

В текущем сечении бруса возникают изгибающие моменты

М_х = - Р_уz = -Р_zcos φ,

М_у = Р_хz = Р_z sin φ.

рис.1

Знак изгибающего момента М_х определяется так же, как и в случае прямого изгиба. Момент М_у будем считать положи­тельным, если в точках с положительным значением координаты х этот момент вызывает растягивающие напряжения. Кстати, знак момента М_у легко установить по аналогии с определением знака изгибающего момента М_x, если мысленно повернуть сечение так, чтобы ось х совпала с первоначальным направлением оси у.

Напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса можно определить, используя формулы определения напряженна для случая плоского изгиба. На основании принципа независимости действия сил суммируем напряжения, вызываемые каждым из изгибающих моментов

(1)

В это выражение подставляются значения изгибающих моментов (со своими знаками) и координаты точки, в которой подсчитывается напряжение.

Для определения опасных точек сечения необходимо опреде­лить положение нулевой или нейтральной линии (геометрического места точек сечения, в которых напряжения σ =0). Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии.

Уравнение нулевой линии получаем из уравнения (1) при =0:

у = (2)

откуда следует, что нулевая линия проходит через центр тяжес­ти поперечного сечения.

Возникающими в сечениях балки касательными напряжениями (при Q_х≠0 и Q_у≠0), как правило, можно пренебречь. Если же возникает необходимость в их определении, то вычисляются вначале составляющие полного касательного напряжения τ_х и τ_у по формуле Д.Я.Журавского, а затем последние геометрически суммируются:

(3)

Для оценки прочности бруса необходимо определить в опасном сечении максимальные нормальные напряжения. Так как в наиболее нагруженных точках напряженное состояние одноосное, то условие прочности при расчете по методу допускаемых напря­жений принимает вид

, (4)

где ,

- для пластичных материалов,

- для хрупких материалов,

n- коэффициент запаса прочности.

Если вести расчет по методу предельных состояний, то ус­ловие прочности имеет вид:

(5)

где R – расчетное сопротивление,

m – коэффициент условий работы.

В тех случаях, когда материал бруса различно сопротивля­ется растяжению и сжатию, необходимо определить как максималь­ное растягивающее , так и максимальное сжимающее напряжения, а заключение о прочности балки сделать из соотношений:

(6)

где R_p и R_c - соответственно расчетные сопротивления материа­ла при растяжении и сжатия.

Для определения прогибов балки удобно предварительно най­ти перемещения сечения в главных плоскостях по направлению осей х и у.

Вычисление этих перемещений ƒ_x и ƒ_y можно осуществить путем составления универсального уравнения изогнутой оси бал­ки или энергетическими методами.

Полный прогиб можно найти как геометрическую сумму:

ƒ= (7)

условие жесткости балки имеет вид:

ƒ_max , (8)

где - - допускаемый прогиб балки.