Элементы теории погрешностей

Лабораторная работа №1

Цель: изучение основных понятий теории погрешностей, формирование практических навыков работы с приближёнными величинами

Краткая теория

1. Источники погрешности при решении задач на э в м

Анализ погрешностей является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи.

На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи – от построения математической модели до производства вычислений.

Пусть R – точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность ε1 = R – R1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так называемая неустранимая погрешность).

Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность ε2 = R2 – R1 называют погрешностью метода.

Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше погрешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство, а также неизбежность округлений (в случае использования ЭВМ принудительное округление диктуется конечностью разрядной сетки машины) приводят к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности ε3 = R3 – R2.

Полная погрешность ε, очевидно, получается как сумма всех погрешностей:

ε = R - R3 = (R – R1) + (R1 - R2) + (R2 – R3) = ε1 +ε2 +ε3.

При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут отсутствовать или незначительно влиять на окончательный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели. Располагая несовершенной математической моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла проводить утонченный анализ вычислительных ошибок. Отсюда следует, что оценка неустранимой погрешности может послужить веским доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудоемкими.

2. Основные понятия теории погрешностей

Пусть x – точное значение некоторой величины, a — наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью x - a. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

которую называют абсолютной погрешностью величины x. Кроме абсолютной погрешности часто используется относительная погрешность, которая определяется как отношение

= ,

Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Приведённые выражения для _a и _a практически не могут быть использованы, так как истинное значение величины x неизвестно. Поэтому для оценки точности приближённых чисел находят предельную абсолютную погрешность , являющуюся верхней a  оценкой  . Это значение определяется неоднозначно. Обычно стремятся указать число, наименьшее из возможных.

Если в приведённом выше выражении для относительной погрешности заменить абсолютную погрешность на предельную, то получим соотношение, определяющее предельную относительную погрешность.

=

Говоря в дальнейшем о погрешности приближённых величин, будем иметь в виду их предельные погрешности, т.е. =

Если известны a и _a, то принято записывать: x = a  _a. Это означает, что точное неизвестное значение х принадлежит промежутку от a – _a до a + _a.

Приближения к точному значению по недостатку и по избытку позволяет установить нижнюю и верхнюю границы.

Любая пара чисел НГ и ВГ такая, что называется соответственно нижней и верхней границами приближённой величины .