- •Перечень ссылок Приложение а
- •1 Принципиальная электрическая схема и описание её работы
- •1. 1 Основные блоки схемы
- •2 Функциональная схема сау и ее особенности
- •3 Структурная схема сау
- •4 Передаточная и комплексно-частотная функция сау
- •4.3 Задающий блок
- •4.5 Асинхронный двигатель и его передаточная и комплексно –
- •4. 6 Режущая и подающая части угледобывающего комбайна
- •4.8 Передаточная и комплексно – частотная функция механизма
- •4.9 Передаточная и комплексно – частотная функция системы
- •5 Анализ устойчивости и определение граничного
- •Миноp 3 - поpядка 7.5153466183034d-06
- •5.2 Исследование сау по критерию Михайлова
- •5.3 Исследование устойчивости с помощью критерия d-разбиения
- •5.4 Определение статической номинальной и минимальной ошибок
- •6 Построение переходного процесса сау
- •7 Синтез последовательного корректирующего устройства
- •Заключение
Миноp 3 - поpядка 7.5153466183034d-06
Миноp 4 - поpядка 7.5153466183034D-06
Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв к нулю последний определитель Гурвица, так как :
Δn = Δn-1 · Кn.
Воспользовавшись тем, что статический коэффициент усиления системы входит в коэффициент а4 характеристического уравнения (5.1) в виде соотношения
аn = 1 + КГР, откуда КГР= аn- 1,
то граничные условия устойчивости для САУ 4-го порядка выглядят следующим образом :
откуда определим :
Так как КР < КГР , это еще одно доккзательство того, что САУ обладает определенным запасом устойчивости.
5.2 Исследование сау по критерию Михайлова
Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде :
a0 · (jω)n + a1· (jω)n-1 +…+ an-1· jω + an= 0,
то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (ω), а мнимую - через V (ω) :
U (ω) +jV(ω) =D(jω),
где U (ω) = Rе D(jω) = an - an-2 · (ω)2 + ….+an-4· (ω) 4+ a0 · (ω)n ,
V (ω) = Im D(jω) = an-1 - an-3 · ω + ….+an-5 · ω3+ a1 · ωn-1 .
Для характеристического уравнения вида (5.1) аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид :
U (ω) = 5.49 – 0.2314 · ω2 + 0.000546 · ω4, (5.2)
0.825 · ω – 0.02023 · ω3. (5.3)
Изменяя ω в пределах от 0 до ∞, получим кривую - годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Если годограф D(jω) при изменении ω от 0 до бесконечности повернется против часовой стрелки на угол n ·(π /2), нигде не петляя и не обращаясь в ноль, то система устойчива.
Следуя выше приведенному алгоритму, используя прикладную программу TAU.EXE, получим годограф Михайлова , представленный на рисунке 5.1.
Воспользуемся следствием из критерия Михайлова для нахождения граничного коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости. Приравняем вещественную и мнимую части (соответственно выражения (5.2) и (5.3)) к нулю для нахождения значения свободного члена аn :
V (ω) = 0; 0.287 · ω – 0.008854 · ω3 = 0 ; ω· (0.825 - 0.02023 · ω2 ) = 0 ;
Рисунок 5.1 –
Годограф Михайлова исследуемой САУ
Подставим полученное значение частоты в выражение для U(ω) и найдем из него аn :
аn= 0.2314·6.3862 –0.000546 · 6.3864 = 9.4367 - 0.9081= 8.529;
КГР = 8.529 – 1 = 7.529, что совпадает с ранее найденным его значением из критерия Гурвица.
5.3 Исследование устойчивости с помощью критерия d-разбиения
Этот критерий рассматривается для оценки устойчивости замкнутой системы, поэтому используется характеристическое уравнение вида :
a0 · pn+a1 · pn-1 +…+ an-1 · p + an = 0.
Для простоты кривую D-разбиения строят в плоскости одного параметра – коэффициента усиления. Заменим в выражении (5.4) an = 1 + К (для статической системы регулирования) и разрешим характеристическое уравнение относительно К :
0.000546р4 + 0.020236р3 + 0.2314р2 + 0.825р + 1 + К = 0.
Полагая в выражении коэффициент усиления К переменным, заменой оператора Лапласа на оператор Фурье получим сумму вещественной и мнимой частей:
0.000546 · (jω)4 + 0.02023 · (jω)3 + 0.2314· (jω)2 + 0.825· (jω) + 1 + К = 0 ;
К = – (0.000546 · (jω)4 + 0.02023 · (jω)3 + 0.2314 · (jω)2 + 0.825 · (jω) + 1),
К = –0.000546 · ω4 + j · 0.02023 ·ω 3 + 0.2314 · ω2 –- j · 0.825 · ω – 1.
Задаваясь ω от 0 до + , строят одну половину годографа, а затем зеркально отображают на графике ее вторую половину (при изменении ω от - до 0). Кривая, построенная с помощью прикладной программы TAU.EXE, изображена на рисунке 5.2. Годограф является отображением мнимой оси плоскости корней на комплексную плоскость параметра К (коэффициента усиления). При нанесении штриховки справа налево при изменении значений ω от – до + , устойчивость будет сохраняться при значениях корней, лежащих в заштрихованной области. Переход корня из левой полуплоскости в правую через мнимую ось означает потерю устойчивости системы. Из рассмотрения кривой D-разбиения видно, что система остается устойчивой при –1 < К < 1.67, что соответствует ранее найденным значениям КГР.