- •Лабораторная работа № 5 Переходные процессы в электрических цепях первого порядка
- •1.1. Основные сведения
- •1.2. Подготовка к работе
- •Контрольные вопросы
- •Пример расчета
- •1.3. Программа работы
- •Содержание отчета
- •2. Лабораторная работа № 6
- •2.1. Основные сведения
- •2 .1.1. Последовательный контур
- •2.1.2. Параллельный контур
- •2.2. Подготовка к работе
- •Контрольные вопросы
- •2.3. Программа работы
- •Содержание отчета
- •3. Лабораторная работа № 7
- •3.1. Основные сведения
- •3.1.1. Переходная и импульсная характеристика электрических цепей 1-го порядка
- •3.1.2. Переходная и импульсная характеристики электрических цепей 2-го порядка
- •3.2. Подготовка к работе
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Программа работы
- •Содержание отчета
- •4. Лабораторная работа № 8 Электрические фильтры
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Подготовка к работе
- •Контрольные вопросы
- •4.3. Программа работы
- •Содержание отчета
Лабораторная работа № 5 Переходные процессы в электрических цепях первого порядка
1.1. Основные сведения
Рассмотренные в первой части лабораторного практикума электрические цепи постоянного и переменного тока находились в установившемся режиме, т.е. параметры токов и напряжений во всех ветвях ЭЦ сохраняли неизменные значения с течением времени. Всякое изменение топологии цепи (подключение или отключение отдельных ветвей ЭЦ) или параметров входящих в нее элементов (пассивных элементов или источников энергии) приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи (топологии цепи или параметров ее элементов), нарушающее установившийся режим, называется коммутацией. В результате коммутации наступает переходный процесс – процесс перехода электрической цепи из одного установившегося режима в другой.
Длительностью процесса коммутации, как правило, пренебрегают, т.е. считают, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, обозначают через , а начальный момент времени непосредственно после коммутации – через .
Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (в частности, по скачкообразному) закону. В идеальных резистивных ЭЦ процесс перехода от одного установившегося состояния к другому происходит мгновенно в момент коммутации. Однако реальные электрические цепи содержат реактивные элементы L и C (пусть даже паразитные L и C малой величины), которые способны запасать электрическую энергию в магнитном или электрическом полях:
. (1.1)
Поскольку каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях, то переходный процесс не может быть скачкообразным, т.к. скачкообразное изменение электрической энергии ЭЦ потребовало бы ее бесконечно большой мощности (P = dW/dt). Любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, поэтому суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени.
С учетом вышесказанного и выражений (1.1) справедливы два закона коммутации [2].
Первый закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: , а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Второй закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: , а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей, а также токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.
Задача анализа переходных процессов в общем случае заключается в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей ЭЦ в произвольный момент времени после коммутации и может быть решена классическим или операторным методом. Рассмотрим классический метод анализа переходных процессов
Как известно, система уравнений электрического равновесия цепи, полученная любым способом и содержащая искомые токи и напряжения ветвей ЭЦ, может быть путем дифференцирования и последовательного исключения неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов или напряжений. Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением цепи [2]. При составлении дифференциального уравнения пользуются известными соотношениями между током и напряжением на пассивных элементах цепи:
1.2)
Классический метод анализа переходных процессов основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ak вида
(1.3)
относительно независимой переменной v(t) равно сумме двух решений: какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения, получаемого из (1.3) при f(t) = 0. Общее решение характеризует так называемые свободные процессы в цепи (обозначим как vсв), т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии. Частное решение дифференциального уравнения определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи (обозначим как vпр) в новом установившемся режиме после окончания переходного процесса.
Таким образом, искомая реакция цепи v(t) (ток или напряжение какой-либо ветви после коммутации) представляется в виде:
. (1.4)
Для определения принужденной составляющей можно воспользоваться одним из известных методов анализа линейных цепей в установившемся режиме. Очевидно, что если после коммутации токи и напряжения независимых источников энергии не изменяются, то принужденная составляющая реакции цепи является постоянной величиной (постоянный ток или напряжение): vпр(t) = vпр = const.
Для определения свободной составляющей реакции цепи необходимо найти корни pi характеристического уравнения
, (1.5)
где an …a0 – коэффициенты дифференциального уравнения (1.3). Тогда свободная составляющая vсв(t) равна
, (1.6)
где Ai – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.
Рассмотрим основные этапы анализа переходных процессов в ЭЦ на примере схемы, показанной на рис. 1.1. Для удобства анализа разделим процесс на четыре стадии, сопровождая каждую из них соответствующими эквивалентными схемами (рис. 1.2):
установившийся процесс перед коммутацией;
быстрое изменение процесса в момент коммутации;
медленное изменение процесса после коммутации;
установившийся процесс после коммутации (принужденная составляющая переходного процесса).
Этапы анализа переходных процессов
1 . Анализ цепи до коммутации. В результате этого этапа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t =0–). Для этого необходимо преобразовать исследуемую схему к виду, соответствующему моменту времени t = 0– (первая стадия переходного процесса). В цепях постоянного тока из схемы исключаются емкости (разрыв цепи), а индуктивности заменяются идеальным проводником, т.к. в цепях постоянного тока напряжения на конденсаторах постоянны, и токи через них не протекают, а через индуктивности протекают постоянные токи, и падение напряжения на них отсутствует. На схеме (рис. 1.1) коммутатор (S) в исходном состоянии находится в положении «1», и эквивалентная схема приобретает достаточно простой для расчета вид (рис. 1.2, а). Интересующее нас напряжение на емкости С можно найти по правилу делителя напряжений: uC(0–) = UR3 = ER3/(R1 + R3 + R4).
2 . Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени t = 0+, которые находят с помощью законов коммутации. Для второй стадии рассматриваемого процесса (момент коммутации) топология ЭЦ соответствует виду «после коммутации». При этом в эквивалентной схеме емкости заменяются идеальными источниками напряжения (ECi), а индуктивности – идеальными источниками тока (ILi) (рис. 1.2, б). Поскольку напряжения емкостей и токи индуктивностей в момент коммутации не изменяются, то ECi = uCi(0+) = uCi(0–) и ILi = iLi(0+)= iLi(0–). В рассматриваемой схеме начальное (исходное) значение напряжения на конденсаторе С (обозначим как E1) равно Е1 = uC(0+) = uC(0–) = UR3 = = ER3/(R1 + R3 + R4) (рис. 1.2, а), а ЕС = Е1 (рис. 1.2, б).
3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации. Как отмечалось выше, дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений энергетического равновесия цепи, составленной любым методом (например, используя законы Кирхгофа), с последующим исключением всех неизвестных величин, кроме одной независимой переменной, представляющей собой ток или напряжение какой-либо ветви. Топология цепи должна соответствовать виду «после коммутации». В ЭЦ первого порядка в качестве независимой переменной, как правило, принимают ток через индуктивность или напряжение на емкости.
Установив в схеме (рис. 1.1) коммутатор (S) в положение «2» и составив для полученной ЭЦ систему уравнений электрического равновесия, с учетом (1.2) получим:
или , (1.7)
где . (1.7, а)
Величина τ = RэC называется постоянной времени цепи. Для ЭЦ первого порядка, содержащей индуктивность, постоянная времени определяется выражением τ = L/Rэ.
Следует отметить, что эквивалентное сопротивление Rэ можно найти, используя эквивалентную схему (рис. 1.2, в), которая получается из исходной схемы (после коммутации), если из нее исключить источники постоянного тока, а источники постоянного напряжения заменить идеальным проводником.
Напряжение на емкости при t ≥ 0 представим в виде суммы свободной и принужденной составляющих uC(t) = uC св(t) + uС пр.
4. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. Для определения принужденной составляющей реакции ЭЦ необходимо провести анализ установившегося процесса в цепи после коммутации. Для рассматриваемого примера эквивалентная схема в установившемся режиме показана на рис. 1.2, г. Так как напряжение на конденсаторе uС пр = IR3R3 и, учитывая, что по правилу делителя тока IR3 = I∙R1/(R1 + + R2 + R3), получаем
. (1.8)
Принужденную составляющую можно найти и из выражения (1.7), учитывая, что в установившемся режиме duC/dt = 0:
. (1.9)
Нетрудно заметить, что выражения (1.8) и (1.9) полностью совпадают.
5. Определение свободной составляющей реакции цепи. Для определения свободной составляющей реакции цепи (1.6) необходимо составить характеристическое уравнение (1.5). Применительно к ЭЦ первого порядка характеристическое уравнение имеет вид τp1 + 1 = 0, откуда получаем: p1 = -1/τ. Таким образом, свободная составляющая реакции цепи содержит один экспоненциальный член (в нашем примере свободная составляющая напряжения на емкости):
. (1.10)
6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи находится в соответствии с выражением (1.4) и для нашего примера имеет вид
. (1.11)
7. Определение постоянных интегрирования. Для определения постоянной интегрирования A1 воспользуемся найденным ранее начальным условием uC(0+) = Е1. Полагая в (1.11) t = 0 и uC = uC(0+) = Е1, получаем E1 = E2 + A1, откуда A1 = E1 - E2.
8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Искомое напряжение на емкости в ЭЦ (рис. 1.1) после коммутации (t ≥ 0) описывается выражением
, (1.12)
а ток, протекающий через конденсатор, определяется из (1.12):
. (1.13)
Выражения (1.12) и (1.13) для ЭЦ первого порядка, содержащих только постоянные источники энергии, носят универсальный характер. То есть, если цепь содержит индуктивность и в качестве независимой переменной принят ток iL, то ток и напряжение на индуктивности после коммутации соответственно равны:
, (1.14)
, (1.15)
где I1 и I2 – начальное и установившееся значения тока в индуктивности, которые можно найти по эквивалентным схемам установившихся режимов ЭЦ до и после коммутации (рис. 1.2, а и рис. 1.2, г), τ = L/Rэ, а Rэ – эквивалентное резистивное сопротивление ЭЦ после коммутации.
Г рафики переходного процесса в схеме (рис. 1.1) приведены на рис. 1.3. Для графического определения постоянной времени τ необходимо провести касательную к кривой переходного процесса в любой ее точке. Тогда τ = t2 – t1 , где t1 и t2 – соответственно абсциссы точки касания и точки пересечения касательной линии установившегося режима.
Определив ток и напряжение на реактивном элементе, можно (используя законы Ома и Кирхгофа) найти токи и напряжения и в других ветвях схемы. Так, в схеме (рис. 1.1) ток, протекающий через сопротивление R3, равен i3 = uC/R3, а ток, протекающий через R2, по первому закону Кирхгофа: i2 = i3 + iC и т.д.