Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Cанкт-Петер­бургс­кий государ­ст­вен­ный университет

информационных тех­но­логий, механики и оп­тики”

Кафедра вычислительной техники

П.С. Довгий, В.И. Поляков

Основы теории множеств

Конспект лекций по дисциплине

«Дискретная математика»

Санкт-Петербург

2011 г.

Содержание

Введение	3
Основные понятия	3
Способы задания множеств	5
Отношения между множествами	6
Алгебра множеств	8
Операции над множествами	8
Основные тождества (законы) алгебры множеств	10
Способы доказательства тождеств	11
Упорядоченные множества	13
Понятие вектора	13
Прямое (декартово) произведение множеств	13
Декартова степень множества	14
Мощность прямого произведения множеств	14
Основные тождества для операции прямого произведения множеств	15
Литература	16
Контрольные вопросы	17
Контрольные задачи	18

Введение

Вряд ли можно назвать какую-либо возникшую в последней трети девятнадцатого века математическую дисциплину, которая оказала бы большее влияние на прогресс всей математики и, шире, на математическое мышление в целом, чем теория множеств. К идеям теории множеств в разное время подходили с разных сторон многие ученые, но оформление ее в самостоятельную науку, со своими особыми предметом и методом исследования, осуществил в своих работах 1872-1897 г.г. немецкий математик Георг Кантор. Среди современников Г. Кантора правильно оценили значение этих работ только немногие, прежде всего Рихард Дедекинд, который внес собственный значительный вклад в новую теорию. Обнаруженные в конце ХIХ — начале ХХ вв. логические и методологические парадоксы теории множеств отпугнули некоторых выдающихся математиков, первоначально приветствовавших ее появление, в частности, таких как Анри Пуанкаре. Однако плодотворные приложения теории множеств в различных разделах математики стимулировали ее дальнейшую разработку во многих направлениях и исследование самых ее основ средствами бурно развивавшейся математической логики. Какие-либо окончательные и общепризнанные решения всех сложных проблем до сих пор не достигнуты и все более и более тонкие изыскания здесь продолжаются; вместе с тем современная математика не может обойтись без основного аппарата, понятий и приемов теории множеств.

Г . Кантору принадлежит заслуга привнесения в математику самого понятия "множества" (или "совокупности"). Это понятие относится к категории фундаментальных и неопределяемых понятий математики. Его можно толковать и иллюстрировать лишь на примерах. "Под множеством - писал Г. Кантор - я понимаю вообще всякое многое, мыслимое нами как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона..." (Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 101) Г. Кантору принадлежит также следующая формулировка понятия множества: «Множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое».

Георг Кантор (1845 -1918)