4. Задача о замене оборудования

В начале планового периода из N лет имеется оборудование возраста t лет. Для каждого года планового периода известны стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования продукции и затраты u(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста t оборудования. Известны также остаточная стоимость S оборудования, не зависящая от его возраста, и цена р единицы нового оборудования, не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, то есть в начале каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости S и купить новое по цене р, с тем чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.

Здесь шаг – год планового периода. Число шагов равно числу лет планового периода. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования. В начале каждого шага может быть выбрано одно из двух управлений: «сохранение» или «замена» оборудования. Целевая функция за плановый период . Ограничения определяются критерием замены оборудования: прибыль при дальнейшей эксплуатации старого меньше прибыли после его замены с учетом всех издержек. Если прибыль от нового оборудования равна прибыли при старом, то старое сохраняется еще на год, так как оно уже досконально изучено.

Задача решается с помощью принципа оптимальности Беллмана. Рассмотрим годы планового периода от конца к началу (обратный ход). Введем последовательность функций – максимальная прибыль, получаемая от оборудования возраста t за последние i лет планового периода.

Здесь , где t₀ – возраст оборудования в начале планового периода.

Для последнего года оптимальная политика и максимальная прибыль находятся из условия:

– сохранение

– замена

Рассмотрим прибыль за последние два года:

– сохранение

– замена

Аналогично, для i последних лет:

– сохранение

– замена

Для i = n: .

После этого остается пройти процесс в прямом направлении и сформулировать безусловную оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования.

Для заполнения расчетной таблицы можно использовать следующий алгоритм:

1) Найти , .

2) Заполнить строку , переписав из таблицы данных соответствующие значения , все значения заменить на .

3) Начиная с i=2, расчет по строкам производится в следующей последовательности:

а) вычислить , где берется из уже заполненной строки;

б) вычислить , где сумма и слагаемые образуют треугольник, у которого одна из вершин всегда в первой строке над искомым значением, а вторая – в последней заполненной строке следующего столбца. Получаемые значения вносить в соответствующие клетки строки, начиная с первого , оставшиеся клетки строки заполнить значением ;

в) клетки с первым значением в процессе заполнения таблицы отделить от расположенных в строке левее разделительной границей смены управления;

г) если таблица не заполнена до последней строки, перейти к пункту а) и выполнить расчет для следующего значения индекса i.

Задача. Пусть s = 2, p = 15, t₀ = 4. Прибыль и издержки предприятия в зависимости от возраста оборудования заданы таблицей:

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	30	30	29	29	29	28	28
u(t)	10	10	12	13	14	15	16
j (t) = r(t) – u(t)	20	20	17	16	15	13	12

Обратный ход.

Определим .

Заполним следующую таблицу по ранее указанному алгоритму:

Zi(t)/t	0	1	2	3	4	5	6	mi
Z1(t)	20	20	17	16	15	13	12	7
Z2(t)	40	37	33	31	28	27	27	27
Z3(t)	57	53	48	44	44	44	44	44
Z4(t)	73	68	61	60	60	60	60	60
Z5(t)	88	81	77	76	75	75	75	75
Z6(t)	101	97	93	91	90	88	88	88

Прямой ход.

Максимальная прибыль при оптимальной политике .

Эта клетка находится слева от границы, следовательно, для достижения максимальной прибыли в начале первого года планового периода оборудование надо сохранить. В течение первого года оборудование постареет на год. Таким образом, за пять лет до конца планового периода будем иметь оборудование возраста пяти лет. Из таблицы возьмем . Эта клетка справа от границы, следовательно, во втором году планового периода меняем оборудование, и по окончании этого года за четыре года до конца планового периода будем иметь оборудование возраста один год и т.д. Получаем оптимальную политику управлений:

Итак, заменить оборудование необходимо только на втором году планового периода с тем, чтобы получить максимальную прибыль в размере 75 усл. ед.

Замечание 11.2. По решению для шестилетнего планового периода можно получить решение по оптимальной политике замен на каждом плановом периоде длительностью, не превосходящей шести лет.

Например, для N = 3: и

Замечание 11.3. Задачу можно усложнить, например, допуская замену не новым оборудованием, а уже проработавшим некоторое время. При этом возможны три управления: сохранение старого, покупка нового, покупка не нового оборудования.

Педагогический комментарий. Данное лекционное занятие закладывает основы для формирования следующих профессиональных умений студентов-экономистов: умение выявлять проблемы экономического характера при анализе конкретных ситуаций, предлагать способы их решения и оценивать ожидаемые результаты; умение разрабатывать и обосновывать варианты эффективных многошаговых производственно-технологических решений; умение ставить цель и формулировать задачи, связанные с профессиональной деятельностью, умение использовать для их решения методы изученных дисциплин; умение логически мыслить; умение совершенствовать составление оперативно-производственного плана с использованием инструментария математического программирования; умение эффективно управлять экономическими процессами и регулировать использование комплекса имеющихся ресурсов; умение осуществлять выбор объектов финансовых инвестиций; умение рассчитывать календарно-плановые нормативы.