7. Распределение Максвелла. Распределение Больцмана.

Функция распределения Максвелла молекул газа по скоростям (в равновесном состоянии) имеет следующий вид:

, где – постоянная Больцмана; – масса одной молекулы, число Авогадро моль^–1; универсальная газовая постоянная .

– относительная доля молекул, обладающих скоростями в диапазоне от до .

Средняя вероятная скорость молекул – скорость, при которой функция распределения достигает максимума, т.е.

, где  – молярная масса газа.

Средняя скорость молекул (средняя арифметическая)

Средняя квадратичная скорость молекул

Барометрическая формула для равновесной атмосферы, температура которой не меняется с высотой:

,

где – масса одной молекулы,  – молярная масса газа, П – потенциальная энергия молекулы, – высота над уровнем моря, – атмосферное давление на уровне моря.

Из уравнения молекулярно-кинетической теории при условии изотермичности атмосферы можно записать выражение для концентрации:

,

где – концентрация молекул на уровне моря, – концентрация молекул на высоте .

7-1. В закрытом сосуде при температуре Т находится

а) азот (молярная масса  = 28 г/моль);

б) кислород (молярная масса  = 32 г/моль)

в) гелий (молярная масса  = 4 г/моль)

Найти относительную долю молекул, скорости которых лежат в интервале от до , где – наиболее вероятная скорость молекул.;

Т = 300 К; = 0,1 м/с.

Ответы: а) 1,9710^–4; б) 2,110^–4; в) 7,4410^–5.

7-2. В закрытом сосуде при температуре Т находится

а) водород (молярная масса  = 2 г/моль).

б) гелий (молярная масса  = 4 г/моль)

в) кислород (молярная масса  = 32 г/моль)

г) азот (молярная масса  = 28 г/моль)

Найти относительную долю молекул, скорости которых лежат в интервале от до , где – средняя квадратичная скорость молекул.

Т = 300 К; = 0,1 м/с.

Ответы: а) 4,7810^–5; б) 6,7610^–5; в) 1,9110^–4; г) 1,7910^–4.

7-3. В закрытом сосуде при температуре Т находится

а) азот (молярная масса  = 28 г/моль);

б) кислород (молярная масса  = 32 г/моль);

в) гелий (молярная масса  = 4 г/моль);

г) водород (молярная масса  = 2 г/моль).

Найти относительную долю молекул, скорости которых лежат в интервале от до , где – средняя скорость молекул. Т = 300 К; = 0,1 м/с.

Ответы: а) 1,9110^–4; б) 2,0410^–4; в) 7,2010^–5; г) 5,0910^–5.

7-4. Из маленького отверстия в стенке сосуда выходит пучок молекул, распределение которых по скоростям имеет вид

а) ; б) ; в)

Найти наиболее вероятную скорость молекул. В = 0,01 с²/м².

Ответы: а) 12,2 м/с; б) 14,1 м/с; в) 15,8 м/с

7-5. В закрытом сосуде при температуре T находится N молекул идеального газа с молярной массой . Сумма скоростей всех молекул равна . Универсальная газовая постоянная . Найти

а) температуру газа. N = 10²³;  = 10²⁶ м/с;  = 28 г/моль.

б) молярную массу газа. N = 10²³;  = 10²⁶ м/с; Т = 851 К.

Ответы: а) 1323 К; б) 0,018 кг/моль

7-6. В закрытом сосуде при температуре T находится N молекул идеального газа с молярной массой . Сумма квадратов скоростей всех молекул равна . Универсальная газовая постоянная . Найти

а) молярную массу газа. N = 10²³;  = 10²⁹ м²/с²; Т = 1123 К.

б) температуру газа T. N = 10²³; = 10²⁹ м²/с²;  = 28 г/моль.

Ответы: а) 0,028 кг/моль; б) 1123 К

7-7. На берегу моря атмосферное давление составляет , а температура воздуха t. Молярная масса воздуха  = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная . g = 10 м/с². Считая температуру одинаковой на разных высотах, найти

а) давление p на высоте Н над уровнем моря. Па; С; Н = 1 км;

б) На какой высоте Н над уровнем моря давление будет р.

Па; Па; С;

в) температуру (в C) на высоте Н. Па; Па; Н = 8 км

Ответы: а) 8,9104 Па; б) 5959 м; в) 32С

7-8. На берегу моря концентрация молекул воздуха равна , а на высоте Н над уровнем моря концентрация n. Молярная масса воздуха  = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная . g = 10 м/с².Считая температуру одинаковой на разных высотах, найти

а) температуру (в C) на высоте Н. м^–3; м^–3; Н = 8 км.

б) концентрацию n на высоте Н. м^–3; С; Н = 8 км.

в) высоту Н над уровнем моря. м^–3; С; м^–3

Ответы: а) 32С; б) 3,941024 м–3; в) 4391 м

7-9. На берегу моря концентрация молекул воздуха равна , а температура tC. Постоянная Больцмана Дж/К. Считая температуру одинаковой на разных высотах, найти

а) потенциальную энергию одной молекулы воздуха на высоте, где концентрация молекул равна n. м^–3; С; м^–3.

б) концентрацию молекул на высоте, где потенциальная энергия одной молекулы равна П. м^–3; С; П = 10^–21 Дж.

в) температуру воздуха (в С). м^–3; м^–3; П = 10^–21 Дж

Ответы: а) 2,1110^–21 Дж; б) 7,9510²⁴ м^–3; в) 52С

7-10. На берегу моря атмосферное давление составляет , а температура воздуха t одинаковая на разных высотах. Молярная масса воздуха  = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная . g = 10 м/с². Если подняться на высоту Н над уровнем моря, то

а) во сколько раз будет меньше давление p. С; Н =1 км.

б) на сколько станет меньше давление p. =10⁵ Па; С; Н =1 км.

Ответы: а) в 1,12 раза; б) 1,110⁴ Па.

7-11э. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). С ростом температуры газа площадь под этим графиком будет:

а) оставаться неизменной б) расти пропорционально

в) расти пропорционально г) расти пропорционально