2.4.4. Умовні чисельні характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія

До умовних чисельних характеристик однієї з випад­кових величин, які є складовими системи (Х, Y), відносять умовне математичне сподівання, умовну дисперсію та умовне середнє квадратичне відхилення. Ці характеристики визначають на підставі умовних законів розподілу.

А. В и п а д о к д и с к р е т н о ї в и п а д к о в о ї в е л и ч и н и

Для дискретної двовимірної випадкової величини (Х, Y) умовні чисельні характеристики обчислюють за формулами:

• умовні математичні сподівання:

, (2.75)

(2.75)

• умовні дисперсії:

= (2.76)

(2.76)

• умовні середні квадратичні відхилення:

; (2.77)

(2.77)

Приклад 2.38. Закон розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) задано таблицею прикладу 2.29:

X = xі Y = yj	10	20	30	40	p(yj)
–8 –4 –2	0,01 0,07 0,1	0,03 0,1 0,2	0,02 0,07 0,1	0,04 0,06 0,2	0,1 0,3 0,6
p(xi)	0,18	0,33	o,19	0,3

Обчислити

Розв’язання. За формулами (2.75)–(2.77) маємо:

За формулами (2.75)–(2.77) одержуємо:

Б. В и п а д о к н е п е р е р в н о ї в и п а д к о в о ї в е л и ч и н и

Основні чисельні характеристики умовного розподілу ймовірностей складових неперервної двовимірної випадкової величини визначаються такими формулами:

• умовні математичні сподівання:

, (2.78)

; (2.78)

• умовні дисперсії:

, (2.79)

; (2.79)

• умовні середні квадратичні відхилення:

(2.80)

. (2.80)

Приклад 2.39. На підставі даних прикладу 2.30 обчислити і

Розв’язання. Умовні густини розподілу і були знайдені в прикладі 2.32:

де – фіксоване.

де – фіксоване.

Шукані умовні математичні сподівання обчислюємо за формулами (2.78) і (2.78):

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =

=

Означення. Умовне математичне сподівання випадкової величини Y при за­даному Х = х: M(Y|X = x) = f(x) називається регресією Y на Х; аналогічно M(Х|Y = y) = g(y) називається регресією Х на Y. Графіки цих залежностей від х і y називаються лініями регресії, або «кривими регресії» Y на Х і Х на Y, відповідно.

Приклад 2.40. Густина сумісного розподілу системи випадкових величин (X, Y) задана функцією:

.

Знайти а та обчислити регресії Y на Х і Х на Y.

Розв’язання. Сталу величину а визначаємо з умови (2.54):

(ми використали інтеграл Ейлера – Пуассона ).

Знайдемо закони розподілу складових X i Y:

;

.

За формулами (2.60) і (2.60) обчислимо умовні густини розподілу ймовірностей:

; .

Умовні математичні сподівання обчислюємо за формулами (2.78) і (2.78):

.

У даному випадку функції регресії і .

Рекомендована література: [1, c. 132–139; 2, с. 77–83; 5, с. 155–185; 7, с. 132–158].

Завдання для самоконтролю

Основні поняття, означення та відношення

Замість крапок запишіть таке продовження (доповнення) тексту словами чи форму­лами, щоб отримати правильне означення або твердження.

1. Двовимірною випадковою величиною (Х, Y) називається …

2. Закон розподілу ймовірностей двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) – це …

3. Сума всіх імовірностей значень дискретної двовимірної випадкової величини дорівнює …

4. Функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини (Х, Y) називається …

5. Значення функції розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) задовольняє подвійну нерівність …

6. Функція розподілу F(x, y) двовимірної випадкової величини задовольняє нерівності при … і при …

7. Для функції розподілу F(x, y) двовимірної випадкової величини вико­нуються граничні

співвідношення:

8. Функція розподілу F(x, y) двовимірної випадкової величини (Х, Y) пов’яза­на з функціями розподілу і складових Х і Y такими спів­відношеннями …

9. Імовірність попадання значень неперервної двовимірної випадкової величини (Х, Y) у прямокутник виражається через її функцію розподілу формулою: …

10. Густиною розподілу f(x, y) ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини (Х, Y) називається …

11. Двовимірна густина розподілу f(x, y) задовольняє нерівність …

12. Якщо f(x, y) – двовимірна густина розподілу, то …

13. Якщо f(x, y) – густина розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y), усі значення якої містяться в прямокутнику , то …

14. Функція розподілу F(x, y) двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) виражається через густину її розподілу f(x, y) за допомогою формули: …

15. Імовірність попадання значень (х, у) двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) у заданий прямокутник виражається через густину її розподілу f(x, y) формулою: …

16. Математичні сподівання М(Х) і М(Y) складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

17. Математичні сподівання М(Х) і М(Y) складових Х і Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

18. Дисперсії D(Х) і D(Y) складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

19. Дисперсії D(Х) і D(Y) складових Х і Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

20. Середні квадратичні відхилення (Х) і (Y) складових Х і Y двовимірної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

21. Коваріацією двовимірної випадкової величини (Х, Y) називається …

22. Коефіцієнт кореляції двовимірної випадкової величини (Х, Y) – це …

23. Якщо складові Х і Y двовимірної випадкової величини (Х, Y) незалежні, то її коефіцієнт кореляції …

24. Якщо коефіцієнт кореляції двовимірної випадкової величини (Х, Y) не дорівнює нулю, то її складові Х і Y є …

25. Дві випадкові величини Х і Y називаються корельованими, якщо …, і некорельованими, якщо …

26. Умовним законом розподілу складової Х двовимірної дискретної випад­кової величини (Х, Y) за фіксованого значення називається …

27. Умовним законом розподілу складової Y двовимірної дискретної випад­кової величини (Х, Y) за фіксованого значення називається …

28. Умовні математичні сподівання і складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

29. Умовні дисперсії і складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

30. Умовною густиною розподілу складової Х двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) за фіксованого значення Y = y називається …

31. Умовною густиною розподілу складової Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) за фіксованого значення Х = х називається: …

32. Умовні математичні сподівання і складових Х і Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

33. Умовні дисперсії і складових Х і Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

34. Умовні середні квадратичні відхилення і складових Х і Y двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) обчислюють за формулами: …

35. Функцією регресії Y на Х називається … і функцією регресії Х на Y називається …

Тести

Запишіть на бланку відповідей номер завдання і коди (порядкові номери або лі­тери), що відповідають тим варіантам відповідей, які вважаєте правильними.

1. Одночасно кидають дві монети. Написати закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y), де Х – число випадань герба на першій монеті, Y – число випадань герба на другій монеті.

Варіанти відповідей:

А.		0	1	Б.		0	1	В.		0	1
	0	1/2	1/2		0	1/4	1/4		0	1/2	1/4
	1	1/2	1/2		1	1/4	1/4		1	1/4	1/2

2. Для якого значення а наведена таблиця виражає закон розподілу деякої двовимірної випадкової величини (Х, Y)?

	–2	0	1	4	6
2	0,7a	a	1,3a	0,5a	2a
5	0,9a	0,4a	1,4a	1,6a	0,2a

Варіанти відповідей: 1. 0,1. 2. 0,2. 3. –0,1.

3. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана функцією розподілу:

Обчислити

Варіанти відповідей: 1. 0,8. 2. 0,06. 3. 0,08.

4. Знайти густину розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини (Х, Y), яка задана функцією розподілу задачі 3.

Варіанти відповідей: А.

Б.

В.

де

5. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана густиною розподілу:

.

Знайти функцію розподілу.

Варіанти відповідей: А. arctg x ∙ arctg y;

Б. arctg x – arctg y – ;

В. arctg x + arctg y + .

5. Закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х, Y) задано таблицею:

	–1	2	4
3	0,1	0,2	0,1
5	0,2	0,1	0,3

Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Варіанти відповідей: а) 1. 0,3. 2. 0,4. 3. 0,6;

б) 1. 0,21. 2. 7,98. 3. 1,32;

в) 1. 3,33. 2. 3,13. 3. 2,23;

г) 1. 2,98. 2. 3,14. 3. 3,05;

д) 1. 0,06. 2. 0,81. 3. 1,09.

5. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана густиною розподілу:

де .

Обчислити: а) б) ; в) ;

г) ; д) .

Варіанти відповідей: а) 1. 5/64. 2. 5/32. 3. 5/16;

б) 1. –1. 2. –2. 3. 1;

в) 1. 16/3. 2. –16/3. 3. 0;

г) 1. 256/3. 2. 16/3. 3. 256/9;

д) 1. 0. 2. 3/8. 3. 3/16.

5. Двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана таблицею:

	2	5	8
0,4	0,15	0,30	0,35
0,8	0,05	0,12	0,03

Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) .

Варіанти відповідей: а) 1. 4,6. 2. 5,75. 3. 6,925;

б) 1. 0,514. 2. 0,216. 3. 1,8;

в) 1. 38,125. 2. 8,325. 3. 5,0625;

г) 1. 0,096. 2. 0,03. 3. 0,047.

5. Для двовимірної випадкової величини (Х, Y), яка задана густиною розподілу із задачі 7, знайти: а) закон розподілу складової Х; б) закон розподілу складової Y.

Варіанти відповідей: а) 1. . 2. . 3. ,

б) 1. . 2. . 3. ,

5. Для двовимірної випадкової величини (Х, Y), яка задана густиною розподілу із за- дачі 5, знайти: а) умовну густину б) умовну густину

Варіанти відповідей: а) 1. . 2. . 3. ;

б) 1. . 2. . 3.