3.7 Обґрунтування принципу Сен-Венана

Принцип Сен-Венана сформульований у розділі 1. Він використаний при розгляді граничних умов у задаxі про згинання консолі. У розрахунку балки на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження цей принцип застосований для зм'якшення граничних умов. Остання задача дозволяє дати кількісну оцінку принципу Сен-Венана. З формул (3.25) виходить, що на торцях розглянутої балки (рис. 3.6), виникають нормальні напруження

Епюра цих напружень на правому торці показана на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Епюра напружень на правому торці балки

Максимальне значення досягається при :

Вплив підрахованих напружень на напруження в різних поперечних перерізах балки ілюструє табл. 3.1. З неї видно, що цей вплив у міру видалення від торця дуже швидко вгасає. Так, у перерезі на відстані від торця, рівної висоті балки, напруження становлять лише 0,74% від діючих у цьому перерезі максимальних напружень .

Таблиця 3.1

До обґрунтування принципу Сен-Венана

Переріз
	11,8	2,66	1,38	0,74

Крім зазначених прикладів для обґрунтування принципу Сен-Венана можна привести ще рішення для вузької прямокутної пластинки, яка стискається по коротких сторонах силами . На рис.3.15 показані епюри напружень у трьох поперечних перерізах. Перерізи взяті на відстанях від навантаженого кінця, рівних , і . Числа на епюрах позначають значення напружень у частках від середнього напруження .

Рис. 3.15. Епюри напружень у трьох поперечних перерізах

З рисунка видно, що в міру видалення від точки прикладення сили епюри швидко вирівнюються і на відстані, рівній ширині пластинки, розподіл напружень стає практично рівномірним.

Сен-Венан сформулював свій принцип для призми суцільного перерізу, навантаженої стискаючими силами по кінцях. Надалі цей принцип був розповсюджений на суцільне тіло, у малій частині якого діє навантаження, що прикладається різними способами.

У тонкостінних стержнях і оболонках принцип Сен-Венана варто застосовувати досить обережно, а саме тільки в тому випадку, коли область прикладення навантаження має порядок, порівнянний з товщиною елементів перерізу.

Розділ 4. ПлосКа задача теорії пружності у полярних координатах

4.1 Основні рівняння

При рішенні плоскої задачі зустрічаються тіла, обмежені поверхнями кругового циліндра і радіально розбіжними площинами. У цих випадках перехід від декартовой системи координат до полярної значно спpощує рішення.

У полярній системі координат положення будь-якої точки на площині визначається двома величинами: радіус-вектором і полярним кутом , відлічуваним від початкового радіуса-вектора . Розглянемо основні рівняння плоскої задачі в полярних координатах: диференціальні рівняння рівноваги, рівняння нерозривності деформацій, формули Коші і формули узагальненого закону Гука.

Виріжемо із пластинки товщиною, рівною одиниці, елемент (рис. 4.1). Для цього проведемо радіус під довільним кутом до початкового радіус-вектору, потім дамо куту нескінченно мале збільшення й проведемо радіус . Довільним радіусом проведемо дугу , потім дамо радіусу збільшення й проведемо другу дугу — . Сторони отриманого елемента мають наступні розміри:

, , .

Рис. 4.1. Елемент пластинки в полярних координатах

На границях елемента діють наступні складові напружень: — радіальне нормальне напруження; — тангенціальне нормальне напруження; — дотичні напруження; і — складові об'ємної сили.

Складемо рівняння проекцій всіх сил на осі й :

При спрощенні врахуємо, що через малість кута можна прийняти

.

Тоді, відкидаючи величини третього порядку малості і ділячи обидва рівняння на площу елемента , одержуємо диференціальні рівняння рівноваги для плоскої задачі в полярній системі координат:

(4.1)

Особливістю цих рівнянь у порівнянні з умовами рівноваги для плоскої задачі в декартових координатах є наявність у знаменнику величини . Чим ближче до початку координат (полюсу) розташована розглянута точка, тим швидше будуть зростати доданки, що містять множник , тому що необмежено убуває. Тому рівняння (4.1) неприйнятні для точок, що лежать поблизу полюса.

Перетворимо до полярних координат рівняння нерозривності деформацій. У декартових координатах воно записувалося у вигляді

.

(а)

Сума нормальних напружень по двох взаємно перпендикулярних площадках у плоскої задачі є інваріантом. Дійсно, підставляючи в перший інваріант напруженого стану , одержимо, що при узагальненому плоскому напруженому стані інваріантною величиною є

При плоскій деформації напруження

і інваріантною величиною є

Таким чином, у плоскої задачі в кожній точці сума нормальних напружень по двох взаємно перпендикулярних площадках є величина постійна, і можна скласти наступну тотожність:

Заміняючи з його допомогою напруження у формулі (а), одержуємо рівняння нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі координат:

(б)

Однак оператор Лапласа в полярній системі має інший вид, чим у декартовій. Замінимо декартови координати на полярні. Для цього на рис. 4.1 вісь сполучимо з початковим радіус-вектором , а вісь направимо донизу. У цьому випадку полярні координати пов'язані з декартовими наступними залежностями:

(4.2)

Диференціюючи ці залежності по й і з огляду на, що , , знаходимо

(в)

Обчислюємо перші похідні по й довільній функції

Використовуючи вираз (в), одержуємо

(г)

Аналогічно обчислюємо другі похідні тої ж функції:

(д)

Сполучимо вісь із радіус-вектором . У цьому випадку й похідні в декартової системі координат (г) і (д) виразяться через похідні в полярній системі в такий спосіб:

(е)

Тоді оператор Лапласа приймає вид

(ж)

Використовуючи це вираження в рівнянні (б), одержимо розгорнуте рівняння нерозривності деформацій для плоскої задачі в полярній системі координат:

(4.3)

Виразимо тепер у цій системі геометричні співвідношення Коші. Позначимо складову переміщення уздовж осі через , а уздовж осі — через .

На рис. 4.2 зображений елемент до деформування й положення точок , і після деформування.

Рис. 4.2. Елемент пластинки до і після деформування

Відносне подовження в напрямку за рахунок переміщення знаходимо аналогічно тому, як це зроблено в декартовій системі координат:

(з)

Відносне подовження уздовж осі залежить як від складової переміщення , так і від складової . У першому випадку

у другому, за аналогією з формулою (з),

Тут елемент дуги замінений на добуток . Сумарне подовження

(и)

Кутова деформація в розглянутій площині

де

(к)

Таким чином, геометричні співвідношення Коші в полярній системі координат утворять систему рівнянь (з), (і), (к):

(4.4)

Формули закону Гука для узагальненого плоского напруженого стану в полярних координатах зберігають такий же вид, як і в декартовій системі [див. (3.8)], при заміні індексів і на й :

(4.5)

У випадку плоскої деформації пружні постійні й у формулах (4.5) повинні бути замінені відповідно на пружні постійні й відповідно до формул (3.9).