- •Лабораторная работа № 4 построение ЭмпирическиХ формул
- •Содержание работы
- •Основные понятия
- •Этапы построения эмпирических формул
- •На основании точечного графика, построенного по экспериментальным данным, выдвигается гипотеза относительно вида аппроксимирующей функции.
- •Этап 2. Определение параметров эмпирической формулы
- •Метод наименьших квадратов
- •Общее решение задачи на примере аппроксимирующей функции с тремя параметрами.
- •Линейная зависимость
- •Квазилинейная зависимость (нелинейная двухпараметрическая)
- •1. Гипербола .
- •Квадратичная зависимость (трехпараметрическая)
- •Постановка задачи
- •Варианты заданий
- •Содержание отчёта
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •Идея построения формул
- •Квадратурные формулы прямоугольников
- •Применение интерполяционного полинома Лагранжа для интегрирования
- •Квадратурные формулы Ньютона–Котеса Пусть , .
- •Формула трапеций (при )
- •Формула Симпсона (при )
- •Квадратурная формула Чебышева
- •Квадратурная формула Гаусса
- •Предварительная информация
- •Вывод формулы
- •Постановка задачи Необходимо:
- •Вычислить определенный интеграл , используя квадратурную формулу:
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 6
- •Содержание работы
- •Решение оду первого порядка
- •Метод Эйлера
- •У точненный метод Эйлера
- •Методы Рунге Кутта
- •Построение методов
- •Метод Адамса
- •Построение метода
- •Метод Милна
- •Построение метода ф ормула прогноза
- •Постановка задачи
- •Варианты заданий
- •Содержание отчёта
- •Вопросы и задания для самоконтроля
Применение интерполяционного полинома Лагранжа для интегрирования
,
где ,
погрешность квадратурной формулы.
Общий вид квадратурной формулы следующий:
, где ( ).
Коэффициенты зависят от выбора узлов.
Замечание.
Если пределы интегрирования и являются узлами, то квадратурная формула называется формулой «замкнутого типа», в противном случае «открытого типа».
Квадратурные формулы Ньютона–Котеса Пусть , .
Если узлы равноотстоящие
;
.
Так как , , то после замены переменной
( ).
Так как , то
, где
( коэффициенты Котеса).
Квадратурная формула:
( ).
Замечание.
Коэффициенты Котеса обладают свойствами:
;
, т.е. равноотстоящие от концов интервала коэффициенты равны.
Рассмотрим частные случаи.
Формула трапеций (при )
;
.
для частичного интервала (рис. 5.3).
для интервала (рис. 5.4).
Оценка погрешности квадратурной формулы трапеций
Произведем замену интегрируемой функции интерполяционным полиномом 1-й степени
, где ; ;
;
, где ;
, где .
Полная погрешность
.
Полагая
среднее арифметическое
и учитывая ,
, где .
Выводы:
с ростом интервала интегрирования погрешность возрастает: ;
с ростом количества частичных интервалов погрешность уменьшается: ;
так как характеризует кривизну функции, то (рис. 5.5, а).
Если , формула дает значение интеграла с избытком (рис. 5.5, б).
Если , формула дает значение интеграла с недостатком (рис. 5.5, в).
Оценка погрешности во многих случаях затруднительна.
Практический способ оценки погрешности (пересчёт с удвоением шага)
, где const.
, где – приближенное значение интеграла, вычисленное с шагом .
, где – приближенное значение интеграла, вычисленное с шагом .
Предельная погрешность
.
Коррекция результата
.
Определение шага
Если задана предельная допустимая погрешность
;
.
Формула Симпсона (при )
;
;
;
;
.
Г еометрическая интерпретация квадратурной формулы (рис. 5.6)
Рис. 5.6
Общая формула Симпсона
,
где чётное число.
Оценка погрешности: .
Практическая оценка погрешности
.
Замечание.
При одинаковом количестве узлов формула Симпсона по сравнению с формулой трапеций позволяет получить более точный результат.
Квадратурная формула Чебышева
Общий вид квадратурной формулы
.
Точность формулы зависит от выбора: 1) коэффициентов ;
2) узлов .
Вывод формул Ньютона Котеса сводится к подбору коэффициентов при заданных узлах . Вывод формулы Чебышева исходит из иных соображений: определяются узлы при равных коэффициентах.
Переход к стандартному интервалу
Если , , то .
После замены переменной
.
Квадратурная формула для стандартного интервала:
.
Условия, предъявляемые к квадратурной формуле Чебышева:
коэффициенты должны быть одинаковыми ;
узлы должны выбираться так, чтобы квадратурная формула была точной для всех полиномов до максимально возможной степени.
Так как формула содержит параметр: узлов , ,…, и один коэффициент , то максимальная степень полинома равна .
Поиск коэффициента А
Учитывая первое условие
.
Полагая , получим: , , .
Выбор узлов ti
Согласно второму условию формула должна быть точной для функции вида: , ,…, . Подставляя эти функции в квадратурную формулу, получим систему уравнений:
из которой могут быть определены ( ).
Таким образом, квадратурная формула Чебышева имеет вид:
, где
( см. табл. 5.1).
Таблица 5.1
-
2
1
2
- 0,577 350
0,577 350
1
3
1
2
3
- 0,707 107
0
0,707 107
0,666 667
4
1
2
3
4
- 0,794 654
- 0,187 592
0,187 592
0,794 654
0,5
5
1
2
3
4
5
- 0,832 498
- 0,374 541
0
0,374 541
0,832 498
0,4
6
1
2
3
4
5
6
- 0,866 247
- 0,422 519
- 0,266 635
0,266 635
0,422 519
0,866 247
0,333 333
7
1
2
3
4
5
6
7
- 0,883 862
- 0,529 657
- 0,323 912
0
0,323 912
0,529 657
0,883 862
0,285 714