Сумма подпространств

Пусть в пространстве даны два подпространства и . Совокупность всех векторов пространства , представленных в виде называется суммой подпространств и , которая обозначается символом + , т. е.

.

□ Теорема 1.16. Сумма подпространств и пространства является подпространством.

Доказательство. Если , то

.

Теперь

;

, k – число.

Следовательно, и . Отсюда следует, что + подпространство в пространстве . ■

Замечание. Подпространство + содержит каждое из подпространств и . Действительно, каждый вектор можно представить в виде , где . Отсюда следует, что векторы из подпространства L принадлежат сумме подпространств, т. е. . Аналогично устанавливается, что .

Базис пересечения подпространств легко найти, если они заданы системами однородных уравнений. Базис же суммы подпространств легче всего найти, когда каждое из них является линейной оболочкой системы векторов. Этот факт вытекает из следующей теоремы.

□ Теорема 1.17. Сумма двух линейных оболочек и соответственно систем векторов и совпадает с линейной оболочкой объединенной системы векторов.

Доказательство. Справедливость теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

+ ,

, . ■

Следующая теорема позволяет находить размерность подпрост-ранства если известны размерности подпространств , и размерность их пересечения .

□ Теорема 1.18. Даны два подпространства и . Справедливо следующее равенство .

Доказательство. Возьмем в пространстве базис . Так как векторы линейно независимы и принадлежат подпространству , то их можно дополнить до базиса , подпространства . С другой стороны, векторы лежат в , значит их можно дополнить до базиса , подпространства . Итак,

− базис , (16) , − базис , (17)

, − базис . (18) Из равенств (16)−(18) следует, что для доказательства теоремы достаточно установить .

Подпространство будет иметь требуемую размерность, если доказать, что

, , (19)

базис подпространства .

Покажем сначала, что каждый вектор из подпространства разлагается по системе векторов (19). Имеем в силу теоремы 1.17 и следствия из теоремы 1.1,

, ,

.

Теперь докажем линейную независимость системы векторов (19). Из следствия к теореме 1.15 следует, что для этого достаточно доказать

, ,

т. е. .

Так как линейная оболочка , то . Наконец, используя следствие из теоремы 1.15, получаем

■

Сумма подпространств и называется прямой, если . Прямую сумму подпространств будем обозначать символом . Итак, означает, что и . Основные свойства прямой суммы подпространств содержатся в следующей теореме.

□ Теорема 1.19. Даны подпространства и . Тогда следующие утверждения равносильны:

1) сумма подпространств и является прямой;

2) ;

3) каждый вектор подпространства единственным образом представляется в виде

. (20)

Доказательство

1) 2). Дано . Тогда . Теперь из теоремы 1.18 следует, что .

2)3). Предположим противное утверждение, т. е. пусть имеется два различных представления вектора в виде (20), т. е. пусть

(21)

(22)

и или .

Из равенств (21) и (22) получаем

. (23)

Вектор принадлежит подпространству , а из равенства (23) следует, что вектор принадлежит подпространству Отсюда вытекает, что вектор  . Так как вектор  , то dim( ) > 0, что, ввиду теоремы 1.18, противоречит условию 2) теоремы.

3)1) Покажем, что = . Пусть  – произвольный вектор из подпространства . Тогда

Отсюда и из условия 3) теоремы вытекает, что . ■

Задачи

1. Найти базис суммы и пересечения подпространств и :

а) и – подпространства решений соответственно систем уравнений

б) − подпространство решений системы уравнений

− линейная оболочка системы векторов = (1; 1; −1), = (2; 3; −1);

в) и линейные оболочки соответственно систем векторов

= (1;1;0;2); = (1;0;1;1);

= (1;–1;0;1); = (1;2;1;2); = (1;0;1;2).

2. Доказать, что для каждого подпространства .

3. Ни одно из подпространств , не содержит другого подпространства. Доказать, что в подпространстве + имеется вектор, не принадлежащий ни подпространству , ни подпространству .

4. Даны подпространства и . Доказать, что следующие условия равносильны:

а) ;

б) ;

в) .

5. Пространство является суммой подпространств и . Подпространство L содержит подпространство . Доказать, что .

6. Доказать, что базисом подпространства является базис системы векторов , где и − базисы соответственно подпространств и .

7. Доказать, что пересечение линейных оболочек соответственно систем векторов и равно нулевому подпространству тогда и только тогда, когда ранг системы векторов , равен сумме рангов систем и .

8. Доказать, что если сумма размерностей двух подпространств пространства больше n, то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.

9. Доказать, что если размерность суммы двух подпространств пространства на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.

10. Выяснить, является ли прямой сумма линейных оболочек систем векторов = (0;−1;2;1); = (1;1;−1;1); = (2;1;0;3); = (1;1;2;−1); = (−1;1;4;1); = (−1;0;1;1).

11. Доказать, что для каждого подпространства пространства найдется такое подпространство , что есть прямая сумма этих подпространств.

12. Система векторов , линейно независима. Доказать, что сумма линейных оболочек соответственно систем векторов и является прямой.

13. Доказать, что пространство есть прямая сумма подпространства , заданного уравнением , и подпространства , заданного системой уравнений .