16.8. Пример расчёта статически неопределимой рамы методом сил в матричной форме

В раме, показанной на рис. 16.14,а, построить эпюры внутренних усилий отдельно от постоянной равномерно распределённой нагрузки q₁ = 20 кН/м, первой временной равномерно распределённой нагрузки q₂ = 12 кН/м, второй временной нагрузки – сосредоточенной силы F = 24 кН, а также вычислить расчётные изгибающие моменты в её характерных сечениях. Соотношение между изгибными жесткостями поперечных сечений ригеля и стоек задано: EJ_p : EJ_c = 2 : 0,5.

Порядок расчёта рамы на заданные воздействия в матричной форме определяется соотношением (16.28):

M^(F) = M_F – M(M^T B_M M)^-1(M^T B_M M_F).

1. Подготовительный этап расчёта: определение степени статической неопределимости рамы (n_st = 3  3 – 7 = 2), выбор основной системы метода сил (рис. 16.14,б), построение эпюр изгибающих моментов в основной системе от Х₁ = 1, Х₂ = 1 (рис. 16.14,в,г), постоянной нагрузки (рис. 16.15,а), первой временной (рис. 16.15,б) и второй временной нагрузки (рис. 16.15,в).

2. Нумерация грузовых участков и сечений, необходимых для формирования матриц изгибающих моментов M и M_F (рис. 16.16).

3. Формирование матриц изгибающих моментов M и M_F от Х₁ = 1, Х₂ = 1 и заданных нагрузок (постоянной и временных) в основной системе метода сил в соответствии с принятой нумерацией грузовых участков и сечений. Правило знаков для элементов этих матриц было сформулировано ранее (см. пример 13.4.1 тринадцатой лекции).

4. Формирование матрицы внутренней упругой податливости рамы, учитывающей изгибные деформации её грузовых участков. Примем EJ_p = 2EJ, EJ_с = 0,5EJ (EJ – произвольное число).

,

где ;

; .

5. Вычисление элементов матрицы внешней податливости принятой для расчёта основной системы метода сил, или матрицы коэффициентов при неизвестных  системы канонических уравнений.

 = М^T B_М М = .

6. Вычисление элементов матрицы грузовых коэффициентов, или матрицы свободных членов _F системы канонических уравнений

_F = М^T B_М М_F = .

7. Обращение матрицы внешней податливости .

  ^-1 = Е, .

1 ,92b₁₁ – 0,5b₂₁ = 1,

-0,5b₁₂ + 6b₂₁ = 0.

Отсюда b₁₁ = 0,533, b₂₁ = 0,044.

1 ,92b₁₂ – 0,5b₂₂ = 0,

-0,5b₁₂ + 6b₂₂ = 1.

Отсюда b₁₂ = 0,044, b₂₂ = 0,170.

^-1 = (М^T B_М М)^-1 = .

8. Вычисление элементов матрицы неизвестных метода сил Х.

X = –^-1 _F = –(М^T B_М М)^-1(М^T B_М М_F) =

= =

= .

9. Вычисление элементов матрицы изгибающих моментов M^(F) в заданной раме от постоянной и временной нагрузок.

10. Кинематическая проверка правильности вычисления элементов матрицы M^(F), являющихся ординатами эпюр изгибающих моментов в заданной раме от постоянной, первой и второй временных нагрузок в сечениях, показанных на рис. 16.16.

.

Относительные погрешности вычислений при сопряжении окончательных эпюр изгибающих моментов, описываемых элементами матрицы M^(F), с соответствующими эпюрами от Х₁ = 1 и Х₂ = 1 в основной системе метода сил, описываемых элементами матрицы М, не превышают 0,07 %.

11. Построение эпюр изгибающих моментов в заданной раме M_const от постоянной нагрузки q₁ = 20 кН/м – по элементам первого столбца матрицы M^(F) (рис. 16.17); от первой временной нагрузки q₂ = 12 кН/м – по элементам второго столбца матрицы M^(F) (рис. 16.18); от второй временной нагрузки F = 24 кН – по элементам третьего столбца матрицы M^(F) (рис. 16.19).

12. Построение эпюр поперечных (Q_const, , ) и продольных сил (N_const, , ) от каждого из вышеупомянутых воздействий (рис. 16.17, 16.18, 16.19).

13. Статическая проверка условий равновесия рамы в целом. Здесь эту проверку проведём только в случае действия постоянной нагрузки (рис. 16.20).

F_x = 0, 11,28 – 7,70 – 3,58 = 0, 0  0;

F_y = 0, 41,28 + 149,73 + 100,55 + 28,44 – 2016 = 0, 0  0;

mom(F)_B = 0, 41,286 – 100,556 – 28,4410 – 2063 +

+ 20105 = 1247,68 – 1247,70 = –0,02.

Относительная погрешность вычислений при проверке последнего условия равновесия составляет

 100 % = 0,0016 %.

14. Вычисление расчётных изгибающих моментов в характерных сечениях рамы (табл. 2).

Таблица 2

№ сечений	Изгибающие моменты, кНм			Расчётные изгибающие моменты, кНм
	Mconst			max	min
3	-33,85	13,61	19,2	-1,04	-33,85
5	-146,15	-13,61	-19,2	-146,15	-178,96
6	-123,04	-41,21	9,6	-113,44	-164,25
8	-56,96	-66,8	-9,6	-56,96	-133,36
9	-46,22	-52,8	14,4	-31,82	-99,02
10	16,89	-26,4	7,2	24,09	-9,51
12	10,74	14,0	24,0	48,74	10,74
14	23,11	-27,61	28,8	51,91	-4,50
2	-33,85	13,61	19,2	-1,04	-33,85