2.2 Случайные погрешности обработки

В процессе обработки партии заготовок на настроенных станках их размеры непрерывно колеблются в определенных границах, отличаясь друг от друга и от настроечного размера на величину случайной погрешности.

Случайная погрешность – это такая погрешность, которая для разных заготовок рассматриваемой партии имеет различные значения, причем ее появление не подчиняется никакой видимой закономерности.

В результате возникновения случайных погрешностей происходит рассеивание размеров заготовок, обработанных при одних и тех же условиях. Рассеивание размеров вызывается совокупностью многих причин случайного характера, не поддающихся точному предварительному определению и проявляющих свое действие независимо друг от друга. К таким причинам относятся колебания твердости обрабатываемого материала, снимаемого припуска, положение исходной заготовки в приспособлении, связанные с погрешностью ее базирования и закрепления или обусловленные неточностями приспособления, колебание температурного режима обработки, затупление инструмента, колебание упругих отжатий элементов ТС под влиянием нестабильных сил резания и др.

Для выявления и анализа закономерностей распределения размеров заготовок при их рассеивании успешно применяют методы математической статистики, базирующиеся на теории вероятностей.

В результате возникновения случайных погрешностей при обработке партии заготовок на настроенном станке действительный размер каждой заготовки является случайной величиной и может принимать любое значение в границах определенного интервала.

Совокупность значений действительных размеров заготовок, обработанных при неизменных условиях, расположенных в возрастающем порядке с указанием частоты повторения этих размеров или частостей, называется распределением размеров заготовок. Под частостью понимается отношение числа заготовок одного размера к общему числу заготовок партии.

Распределение размеров заготовок можно представить в виде таблиц или графиков. На практике измеренные значения действительных размеров заготовок разбивают на интервалы или разряды таким образом, чтобы цена интервала (разность между наибольшим и наименьшим размерами в пределах одного интервала) была несколько больше цены деления шкалы измерительного устройства. Этим компенсируется погрешность измерения. Частость в этом случае представляет собой отношение числа заготовок, действительные размеры которых попали в данный интервал, к общему количеству n измеренных заготовок партии.

Например, после измерения 100 шт. заготовок с действительными размерами в пределах от 20,00 до 20,35 мм из распределение можно представить в виде графика (Рисунок 1). По оси абсцисс откладывают интервалы размеров, а по оси ординат – соответствующие им частоты m или частости m/n. В результате построения получается ступенчатая линия, называемая гистограммой 1 распределения. Если последовательно распределить между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, то образуется ломаная кривая, которая носит название эмпирической кривой распределения или полигона 2 распределения. При значительном количестве замеренных заготовок и большом числе интервалов размеров ломаная эмпирическая кривая приближается по форме к плавной кривой, именуемой кривой распределения. Для построения гистограммного распределения рекомендуется измеренные размеры разбивать не менее чем на шесть интервалов при общем числе измеряемых заготовок не менее 50 шт.

Рисунок 1- Распределение действительных размеров заготовок

При разных условиях обработки заготовок рассеивание их действительных размеров подчиняется различным математическим законам. В технологии машиностроения большое практическое значение имеют следующие законы: закон нормального распределения (закон Гаусса), закон эксцентриситета (закон Релея), закон равной вероятности и функции распределения, представляющие собой композицию этих законов.

2.2.1 Закон нормального распределения. Многочисленные исследования показали, что распределение действительных размеров заготовок, обработанных на настроенных станках, очень часто подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Теоретическое объяснение этому положению дает центральная предельная теорема теории вероятностей – теорема Ляпунова, устанавливающая общие условия, при которых распределение суммы взаимно независимых случайных слагаемых подчиняется закону нормального распределения. Эти условия заключаются в том, что влияние каждого из слагаемых на сумму ничтожно мало и примерно одинаково, т.е. среди слагаемых нет доминирующих, и что в состав суммы входит большое число взаимно независимых случайных величин. Соответствие закону нормального распределения тем точнее, чем больше число слагаемых.

Так как результирующая погрешность обработки обычно представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки, которые по существу представляют собой взаимно независимые случайные величины, и влияние каждой из них на результирующую погрешность имеет один порядок, то распределение результирующей погрешности обработки, а значит, и распределение действительных размеров обрабатываемых заготовок подчиняются на основании теоремы Ляпунова закону нормального распределения.

Уравнение кривой нормального распределения имеет следующий вид:

, (1)

где - среднее квадратическое отклонение,

;

- текущий действительный размер; - среднее арифметическое значение действительных размеров заготовок данной партии,

;

- частота (количество заготовок данного интервала размеров); - количество заготовок в партии; - основание натуральных логарифмов.

Кривая, характеризующая закон нормального распределения, показана на рисунке 2. Среднее арифметическое действительных размеров деталей данной партии характеризует положение центра группирования размеров.

Рисунок 2 - Кривая нормального распределения (кривая Гаусса)

Анализ уравнения (1) показывает, что кривая нормального распределения симметрична относительно оси ординат ( = ). При = кривая имеет максимум, равный

.

Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. На расстоянии от вершины кривой ее ветви так близко подходят к оси абсцисс, что в пределах 99,73% всей площади ограничивается кривой. Практически принято считать, что на расстоянии от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс и в этих пределах заключена вся площадь кривой. Погрешность, равная 0,27%, при практических расчетах в большинстве случаев вполне допустима.

Среднее квадратическое отклонение показывает, насколько тесно группированы возможные значения действительных размеров заготовки около центра группирования. В этом смысле среднее квадратическое отклонение является мерой рассеивания или мерой точности.

Действительно, при увеличении значение ординаты уменьшается (см. форм.1), а поле рассеивания возрастает, в результате чего кривая становится более пологой и низкой, что свидетельствует о большем рассеивании размеров и, следовательно, о меньшей точности. Чем меньше , тем незначительнее рассеивание размеров и выше точность обработки. Влияние на форму кривой нормального распределения показано на рисунке 3.

Фактическое поле D рассеивания размеров заготовок

.

Рисунок 3- Влияние среднего кадратического отклонения на форму кривой нормального распределения