- •И.А.Гайдукова Математика
- •И.А.Гайдукова Математика
- •Оглавление
- •Введение
- •Рекомендации по выполнению первого задания домашней контрольной работы по теме «Линейная алгебра»
- •1. Элементы теории матриц.
- •2. Линейные операции над матрицами.
- •3. Определитель матрицы
- •4. Обратная матрица
- •Примеры:
- •5. Решение систем линейных уравнений тремя способами.
- •1. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
- •2.Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера
- •3.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса в матричной форме.
- •Рекомендации по выполнению второго задания домашней контрольной работы по теме «Интегральное исчисление» Вычисление интегралов. Замена переменных.
- •Правила интегрирования способом подстановки:
- •Примеры решения интегралов способом подстановки:
- •Рекомендации по выполнению третьего задания домашней контрольной работы по теме «Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»
- •Основные свойства определенного интеграла:
- •Домашняя контрольная работа по математике Варианты заданий. Вариант №1
- •Вариант №8.
- •Вариант №9.
- •Вариант №10.
- •Вариант №15.
- •Список литературы
Правила интегрирования способом подстановки:
Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подинтегральное выражение, если нужно).
Определяют, какую часть подинтегральной функции нужно заменить
новой переменной, и записывают эту замену.
Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифферен-
циал старой переменной (или выражение, содержащее этот диффе-
ренциал) через дифференциал новой переменной.
Производят замену под интегралом.
Находят полученный интеграл.
6. В результате переходят к старой переменной.
Примеры решения интегралов способом подстановки:
Найти : ∫ х²(3+2х ) dx
Решение:
сделаем подстановку 3+2х = t
Найдём дифференциал обеих частей подстановки:
6x dx = dt, откуда
х²dx = dt.
Следовательно:
∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C
Заменив t на его выражение из подстановки, получим :
∫ x (3+2x ) dx = (3+2x ) + С
Найти:
Решение :
= = ∫ е = е + C = е + C
Найти:
Решение:
Найти
Решение:
Найти:
Решение:
Найти:
Решение:
Рекомендации по выполнению третьего задания домашней контрольной работы по теме «Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла»
Понятие определённого интеграла.
Разность значений для любой первообразной функции при изменении аргумента от до называется определенный интегралом этой функции в пределах от а до b и обозначается:
а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:
Найти соответствующий неопределенный интеграл
Подставить в полученное выражение вместо х сначала верхний предел интегрирования в, а затем нижний – а.
Из первого результата подстановки вычесть второй.
Коротко это правило записывается в виде формул так:
Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.
Основные свойства определенного интеграла:
, где K=const
Если , то
Если функция неотрицательна на отрезке , где , то
5.
При замене в определенном интеграле старой переменной интегрирования на новую необходимо старые пределы интегрирования заменить новыми. Эти новые пределы определяются выбранной подстановкой.
Применение определённого интеграла.
Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной кривой , не меняющей свой знак на , осью абсцисс и двумя прямыми и вычисляется по формуле:
С помощью определенного интеграла можно решать и ряд физических задач.
Например:
--Если скорость прямолинейно движущегося тела является известной функцией времени t, то путь S, пройденный этим телом с момента времени t = t1 до момента времени t = t2 определяется формулой:
--Если переменная сила является известной функцией пути S (при этом предполагается, что направление силы не меняется) то работа А, совершаемая этой силой на пути от до определяется формулой:
Примеры:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = ; y = ( x-2 )2 ; 0x.
Решение :
а) Построим графики функций: y = ; y = ( x-2 )2
б) Определим фигуру, площадь которой нужно вычислить.
в) Определим пределы интегрирования, решая уравнение: = ( x-2 )2 ; x = 1 ;
г) Вычисляем площадь заданной фигуры:
S = dx + 2 dx = 1 ед2
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями :
Y = x2 ; x = y2 .
Решение :
x 2 = ; x 4 = x ;
x ( x 3 – 1 ) = 0
x1 = 0 ; x2 = 1
S = - x2) dx = ( x3\2 - ) │01 = ед2
3. Вычислить объём тела , полученного вращением вокруг оси 0x фигуры , ограниченной линиями : y = ; x = 1 .
Решение:
V = π dx = π )2 dx = π = π │ = π/2 ед.3