3.1 Абсолютні показники варіації

Розмах варіації - різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:

R = Xmax - Xmin.

Чим більше розмах, тим менше стійкість середньої, але вище її резерв.

Однак цей показник відбиває лише крайні відхилення ознаки і не відображає відхилення всіх варіант у ряді.

Середнє лінійне відхилення ( ) - середня арифметична абсолютних значень відхилень окремих варіант від середньої арифметичної. Дає узагальнену характеристику всіх коливань варіюючої ознаки. Для незгрупованих даних:

,

де n – кількість одиниць сукупності.

Для згрупованих даних:

,

де - сума частот варіаційного ряду.

У чисельнику взяті різниці по модулю, оскільки алгебраїчна сума відхилень варіантів від їх середньої арифметичної завжди буде дорівнювати нулю.

Дисперсія ознаки – це середній квадрат відхилень варіантів від їхньої середньої величини.

Проста дисперсія для незгрупованих даних:

,

де n – кількість одиниць сукупності.

Зважена дисперсія для варіаційного ряду:

.

Чи, зважаючи на те, що , отримаємо:

,

тобто дисперсія дорівнює різниці середньої з квадратів варіантів і квадрата їх середньої:

Властивості дисперсії:

• якщо всі значення ознаки зменшити на однакову постійну величину, то дисперсія від цього не зміниться;

• якщо всі значення ознаки зменшити в те саме число раз (i), то дисперсія зменшиться в i² разів.

Середнє квадратичне відхилення () - дорівнює кореню квадратному з дисперсії. Це - узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки, абсолютна міра мінливості ознаки, що виражається в тих самих одиницях, що і варіанти.

3.2 Відносні показники варіації

При порівнянні коливань різних ознак в одній і тій же сукупності, чи при порівнянні коливань значень будь-якої ознаки в декількох сукупностях з різною величиною середньої арифметичної використовують відносні показники варіації. Ці показники обчислюються як відношення абсолютних показників варіації до середньої арифметичної чи медіани. Відносні показники варіації можна отримати, використовуючи такі абсолютні показники, як абсолютний розмах варіації, середнє лінійне, середнє квадратичне і квартильное відхилення.

Коефіцієнт осциляції:

Відносне лінійне відхилення:

Коефіцієнт варіації:

Відносний показник квартильної варіації:

Найбільш часто застосовуваний показник відносної мінливості - коефіцієнт варіації.

Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

4. Дослідження асиметрії розподілу

Головне завдання аналізу варіаційних рядів – визначення дійсної закономірності розподілу шляхом виключення другорядних, випадкових для даного розподілу факторів.

Під кривою розподілу розуміється графічне зображення у вигляді безперервної лінії зміни частот у варіаціному ряду на основі полігону або гістограми.

Для однорідної сукупності, як правило, характерним є одновершинний розподіл. Багатовершинність свідчить про неоднорідність вивчаємої сукупності.

Відносний показник – коефіцієнт асиметрії A_s:

, або .

Коефіцієнт асиметрії може бути позитивним чи від’ємним. У першому випадку мова йде про правосторонню асиметрію (рис.1), а в другому – про лівосторонню (рис. 2). У симетричному розподілі А_s = 0.

Коефіцієнт асиметрії коливається в межах від -3 до +3.

А_s > 0

А_s < 0

Рис. 1 Правостороння асиметрія Рис. 2 Лівостороння асиметрія

У разі чіткої асиметрії варіаційного ряду середнє значення ознаки має доповнюватися модою і медіаною. В асиметричному розподілі між середньою арифметичною, медіаною і модою існують певні розбіжності. У разі правосторонньої асиметрії: >Me>Mo (рис. 1), а лівосторонньої - <Me<Mo (рис. 2). У симетричному розподілі необхідною умовою є рівність трьох характеристик: середньої арифметичної, моди і медіани: =Me=Mo.

У випадку недотримання ні однієї з вищезгаданих умов висновок з асиметричності робиться, зважаючи зі знаку коефіцієнту асиметрії: якщо А_s > 0, - слід вважати, що сукупність має слабко виражену правосторонню асиметрію, якщо А_s < 0 – слабко виражену лівосторонню асиметрію.