20. Некоторые основные св-ва интеграла от функции комплексной переменной:

Линейность:

Это св-во обобщается на любое конечное число функций.

При изменении ориентации кривой, по которой берется интеграл, на противоположную, знак интеграла изменяется на противоположный:

.

Модуль интеграла: .

21. Производная фкп. Условия Коши-Римана.

Производной однозначной ФКП называется предел отношения , если любым способом стремится к нулю.

.

Функция, имеющая производную при данном значении , называется дифференцируемой при этом значении .

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные , , , , причем эти производные связаны условиями:

, , которые называются условиями Коши-Римана.

Условия Коши-Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке .

Обратно, если частные производные , , , непрерывны в точке и условия Коши-Римана , выполнены, то функция дифференцируема в точке .

Производная функции выражается через частные производные функций и по формулам:

23. Ряды Тейлора и Лорана.

Ряд Лорана по степеням - это формула вида

Правильная часть ряда Лорана сходится в круге

Главная часть ряда Лорана сходится в круге , где - внешность круга.

. Если выполняется это условие, то ряд Лорана сходится в кольце .

Теорема Тейлора. Пусть функция является аналитической в точке . Следовательно, , где - ряд Тейлора по степеням . Полученное разложение функции однозначно.

Доказательство.

Теорема Лорана. Пусть функция является аналитической в кольце . Тогда , где - ряд Тейлора по степеням . Полученное разложение функции однозначно.

24. Геометрический смысл модуля и аргумента аналитической функции.

По определению . Пусть .

(1)

(2)

Р ассмотрим (1)

- вектор . - его длина.

- вектор . - его длина.

- коэффициент линейного растяжения вектора при отображении - коэффициент деформации бесконечно малого вектора, исходящего из при отображении .

означает, что все бесконечно малые вектора, исходящие из , при отображении деформируются с одним и тем же масштабом, то есть сохраняют постоянное растяжение.

растяжение

не деформируется

сжатие

- произвольная гладкая кривая

,

- угол наклона касательной к в точке .

- угол наклона касательной к в точке .

, .

, .

- угол, на который нужно повернуть вектор, касательный к кривой в точке , с тем, чтобы совместить его с направлением вектора, касательного к кривой , при отображении на , осущ. аналитической функции.

Отображение осущ. аналитической функции сохраняет углы между прямыми.

Отображение - аналитическая функция в точке , , удовлетворяющее двум свойствам: постоянство растяжения; сохранение углов – комфорное отображение.