- •Лекция №1.
- •§1. Множество вещественных чисел.
- •§1.1. Понятие вещественного числа и числовая ось.
- •§1.2. Граница числовых множеств.
- •§1.3. Абсолютная величина числа.
- •§1.4. Числовая ось.
- •§2. Функции
- •§2.1. Понятие функции.
- •§2.2. График функции.
- •Лекция № 2.
- •§2.3.Обратная функция.
- •§2.4. Композиция функции.
- •§2.5. Основные элементарные функции.
- •§2.6. Классификация функций.
- •§3. Предел функции.
- •§3.1. Окрестности.
- •Теорема.
- •§3.2. Определение предела функции.
- •§3.3. Основные свойства предела.
- •§3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •Теорема.
- •§3.5. Пределы результатов арифметических действий. Теорема.
- •§3.6. Односторонние пределы.
- •§3.7. Свойство предела в области значений функции. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§3.8.Сравнение функции при на .
- •§3.9. Число е.
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§3.10. Лемма о вложенных промежутках.
- •Лемма (Коши-Кантора).
- •§3.11. Лемма (Больцано-Вейерштрасса) о выделении сходящейся последовательности.
- •Лемма (Больцано-Вейерштрасса).
- •§3.12. Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности.
- •Теорема (критерий Больцано-Коши).
- •Теорема 2 (критерий Больцано-Коши: существования конечного предела функции).
- •§3.13. Некоторые эквивалентности и формулы полезные при вычислении пределов.
- •§4. Непрерывные функции.
- •§4.1. Понятие непрерывной функции.
- •§4.2. Свойства непрерывной функции.
- •Теорема(о непрерывности сложной функции):
- •Теорема 1.
- •Теорема 2(о непрерывной монотонной функции).
- •Теорема 3(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)
- •§4.3. Непрерывность элементарных функций.
- •§5.2. Основные правила вычисления производной. Теорема (о производной результатов арифметических действий)
- •§4.4. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •§4.5. Открытые и замкнутые множества.
- •Теорема (критерий открытости и замкнутости множеств).
- •§4.6. Компакты.
- •Теорема (критерий компакта).
- •Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях.
- •§4.7. Классификация разрывов функции.
- •§5. Производные функции.
- •§5.1. Понятие производной.
- •§5.2. Основные правила вычисления производной Теорема (о производной результатов арифметических действий)
- •Теорема.
- •Теорема.
- •§5.3. Связь между существованием производной и касательной.
- •§5.4. Понятие дифференциалов функции.
- •Теорема
- •§5.5. Основные формулы и правила вычисления дифференциала.
- •Теорема.
- •Теорема.
- •§5.6. Использование дифференциала для приближенных вычислений.
- •§5.7. Производные высших порядков (в.П.).
- •§5.8. Дифференциалы высших порядков (в.П.).
- •§4. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •§4.1. Теорема Ферма.
- •Теорема Ферма(о нуле производной).
- •§6.2. Теорема Роля Теорема Роля
- •§6.3. Теорема Лагранжа. Теорема.
- •§6.4. Теорема Коши о конечных приращениях. Теорема.
- •§6.5. Формула Тейлора.
- •§6.6. Приложение формулы Тейлора.
- •§6.7. Правило Лапиталя. Теорема (правило Лапиталя-Бернулли).
- •§7. Исследование функции с помощью производной.
- •§7.1. Признаки монотонности и постоянства функции. Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3(необходимый признак монотонности)
- •§7.2. Экстремум функции.
- •Теорема.
- •Теорема 1(первый достаточный признак)
- •Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)
- •§7.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
- •§7.4. Направление вогнутости и точки перегиба графика функции.
- •§7.5. Асимптоты к графику функции.
- •Теорема (критерий наклонной асимптоты).
- •§7.6. Построение графика функции с использованием производных.
Лекция №1.
§1. Множество вещественных чисел.
§1.1. Понятие вещественного числа и числовая ось.
1)Целые положительные числа(натуральные)-
2)Присоединив к натуральным числам 0 и целые отрицательные числа, получаем множество целых чисел-
3)Присоединив к множеству целых чисел дробные, получаем множество рациональных чисел - . Каждое рациональное число имеет вид , где . Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби.
4)Все остальные числа иррациональные(бесконечные непериодические дроби)-
(множество вещественных или действительных чисел)
§1.2. Граница числовых множеств.
Определение 1. Число называется верхней(нижней) границей множества A, если для любого элемента выполняется .
Определение 2. Множество называется ограниченным сверху(снизу), если оно имеет верхнюю(нижнюю) границу. Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Определение 3. Наименьшее из верхних границ числового множества называется супремумом множества A (sup A). Наибольшее из нижних границ числового множества A называется инфимуом(inf A).Супремум и инфиум называют так же точный верхний и точный нижней границами множества. Они являются обобщением наибольшего и наименьшего элемента.
Свойства точных границ числового множества:
Свойство 1. Критерии sup и inf . Для того чтобы b было точной верхней(нижней) границей числового множества А необходимо и достаточно, чтобы:
1)число b было верхней(нижней) границей числового множества А.
2)
Свойство 2. Основная теорема теории вещественных чисел: всякое ограниченное сверху (снизу) множество А имеет точную верхнюю(нижнюю) границу ( ).
Свойство 3. Для любого непустого множества А выполняется inf A<sup A.
§1.3. Абсолютная величина числа.
Определение. Абсолютной величиной или модулем числа называется число равное самому , если и равное , если .
Свойство абсолютной величины:
Свойство 1.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
§1.4. Числовая ось.
Определение. Числовой осью называется прямая с выбранным направлением, началом отсчета и единицей длины.
Каждой точке на этой прямой сопоставляется число равное расстоянию от начала отсчета и взятая со знаком + , если точка выбрана в выбранном направлении, и со знаком - ,если точка выбрана в обратном направлении.
-расширенное множество действительных чисел.
Между множеством действительных чисел и числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Это значит, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой и наоборот, каждая точка на числовой прямой обозначает какое-либо действительное число.
§2. Функции
§2.1. Понятие функции.
Определение. Если каждому элементу по закону или правилу сопоставляется один или несколько элементов , то говорят, что на множестве задана функция со значениями во множестве .
Для каждого элемента множество сопоставимых ему значений обозначается .
Переменную называем аргументов функции или независимой переменной, - значением функции или независимой переменной.
Множество , на которой определена функция называется её областью определения, для -множеством значений функции.
Областью определения функции может быть любое множество области оси. Чаще всего рассматривают следующие случаи(области):
1. Множество целых неотрицательных чисел ( ).
2. Область определения состоит из одних или несколько интервалов(конечных или бесконечных) числовой оси.
Примеры:
Функции и называются равными, если равны их области определения и для любого значение функции совпадают.
Частный случай функции - это числовая плоскость . Здесь в роли аргумента идет номер члена последовательности (1,2,3,4…), .
Пример:
Способы задания функции:
1. Табличный.
2. Аналитический (т.е. с помощью формулы).
3. Графический.