- •А.А. Халафян
- •Лекция 1. Теории вероятностей. История возникновения. Классическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Статистическое, геометрическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Последовательность испытаний. Формула Бернулли
- •Лекция 3. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Аксиоматика колмогорова
- •Лекция 4. Случайная величина. Функция распределения
- •Основные свойства функции распределения
- •X1 x2 … xn …, причём xn→-∞, n→∞.
- •Лекция 6. Интегральная теорема муавра–лапласа, теорема бернулли
- •Лекция 7. Непрерывные случайные величины
- •Свойства непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
- •Экспоненциальное распределение
- •Нормальное распределение
- •Лекция 8. Понятие многомерной случайной величины
- •Аналогично закон распределения y имеет вид
- •Лекция 9. Функция распределения многомерной случайной величины
- •Плотность вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 10. Свойства плотности вероятностей двумерной случайной величины
- •Лекция 11. Функции от случайных величин
- •Лекция 12. Теорема о плотности суммы двух случайных величин
- •Лекция 13. Распределения стьюдента, фишера .Числовые характеристики случайных величин
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Лекция 14. Числовые характеристики случайных величин (продолжение)
- •Другие характеристики центра группирования случайной величины
- •Характеристики вариации случайной величины
- •Свойства дисперсии
- •Свойства среднеквадратического отклонения
- •Лекция 15. Вычисление дисперсии основных распределений
- •Лекция 16. Числовые характеристики меры связи случайных величин
- •Лекция 17. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство чебышева. Закон больших чисел
- •Неравенство Чебышева
- •Закон больших чисел
- •Закон больших чисел для одинаково распределенных случайных величин
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Лекция 18. Центральная предельная теорема
- •Лекция 19. Математическая статистика. Предмет математической статистики. Вариационные ряды
- •Лекция 20. Средние величины. Показатели вариации
- •Свойства среднего арифметического
- •Показатели вариации (изменчивости) вариационного ряда
- •Свойства дисперсии
- •Статистическая выборка
- •Лекция 21. Оценка параметров генеральной совокупности
- •Лекция 22. Точечные и интервальные оценки параметров распределения Метод наибольшего правдоподобия
- •Метод моментов
- •Интервальная оценка
- •Лекция 23. Проверка статистических гипотез
- •Лекция 24. Проверка гипотезы о равенстве средних
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •Проверка гипотезы о законе распределения
- •Лекция 25. Элементы регрессионного и корреляционного анализов
- •Линеаризующие преобразования
- •Линейный множественный регрессионный анализ
- •Множественный корреляционный анализ
- •Библиографические ссылки
Лекция 7. Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина – это переменная, которая может принимать любое значение в одном или нескольких заданных интервалах или в некоторых областях плоскости. Дадим более строгое определение.
Определение 1. Случайная величина X – непрерывная случайная величина, если существует функция p(x) 0, такая что, xR, справедливо соотношение .
Ограничимся рассмотрением таких непрерывных случайных величин, для которых р(х) непрерывна всюду, кроме быть может, конечного числа точек.
Определение 2. Функция p(х) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Свойства непрерывной случайной величины
1. .
Доказательство вытекает из определения.
2. Плотность распределения p(x) определяет закон распределения непрерывной случайной величины
.
Это свойство также следует из определения плотности р(х).
3. Для любых х1 х2 , .
Доказательство. По свойству функции распределения .
4. .
Доказательство: .
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю, т.е.
P(X = a) = 0.
Доказательство. Событие можно представить как . События An = a Х a + удовлетворят условиям аксиомы непрерывности
A1 A2 … An …, .
Тогда, применив аксиому, получим
.
Из этого свойства следует, что Р(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a≤X≤b).
Если x – точка непрерывности p(x) и если Δ→0, то
.
Из этого свойства следует, что чем больше значение плотности p(x), тем больше вероятность попадания случайной величины в интервал (x; x + ∆).
Плотностью распределения может быть любая неотрицательная функция, интеграл от которой по всей числовой прямой равен 1, т.е. .
Функция распределения случайной величины любой точке xp ставит в соответствие вероятность р = F(xp) = P(X<xp), т.е. по xp найти F(xp). В иных случаях требуется решение обратной задачи по значению вероятности р найти решение уравнения F(xp) = р.
Определение 3. Точка xp, которая является решением записанного уравнения, называется квантилью, отвечающей заданному уровню вероятности р, или р % квантилью распределения F(x).
Из определения непрерывной случайной величины следует, что функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна. Поэтому для непрерывной случайной величины для любого р, 0 < p < 1 существует квантиль хр.
Определение 4. Квантиль, отвечающая вероятности р = ½, называется медианой распределения.
Медиана является одной из характеристик центра распределения случайных величин.
Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение
Определение 5. Непрерывная случайная величина Х, принимающая значение на отрезке [a,b], имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид
. (1)
Нетрудно убедиться, что ,
.
Если случайная величина равномерно распределена, то вероятность того, что она примет значение из заданного интервала [x; x+∆] не зависит от положения интервала на числовой прямой и пропорциональна длине этого интервала
.
Покажем, что функция распределения Х имеет вид
. (2)
Пусть х (–,a), тогда F(x) = .
Пусть х [a,b], тогда F(x) = .
Пусть х (b,+], тогда F(x) = = 0 + .
Найдем медиану x0,5. Имеем F(x0,5) = 0,5, следовательно
, . Итак, медиана равномерного распределения совпадает с серединой отрезка [a, b]. На рис.1 приведен график плотности р(х) и функции распределения F(x)
для равномерного распределения.
Рис. 1