Самостіна робота №3 з курсу "вища математика"
Тема. Застосування похідної в економічному аналізі
Завдання. 1. Ознайомитися з прикладами задач на застосування похідної функції
в економіці.
2. Розв'язати задачу для самостійного виконання відповідно свого
варіанту.
ТЕОРЕТИЧНА ДОВІДКА
Похідна та її економічний зміст
Означення. Якщо існує границя , то її називають похідною
функції і позначають або або .
Якщо для функції існує похідна у кожній точці інтервалу , то кажуть, що вона диференційована на цьому інтервалі.
Економічний зміст
Нехай , де х – обсяг продукції (незалежна змінна), а - витрати виробництва (функція).
Тоді називають граничними (маргінальними) витратами виробництва та позначають . Аналогічно визначаються маргінальний доход та маргінальний прибуток
Як відомо, (*) для достатньо малих .
1. В економіці найчастіше має цілі значення (кількість одиниць продукції,
кількість робітників і т. д.) , тому найменше значення =1 і формула (*)
набуває змісту: . Отже, похідна показує наскільки
зміняться витрати виробництва при збільшенні виробництва на одиницю.
2. Якщо є залежність попиту Х від ціни р , то дає
наближене збільшення попиту при збільшенні ціни на одну одиницю.
3. Якщо - суб’єктивна числова оцінка даним індивідом корисності х
товару для нього, то дає наближену оцінку додаткової корисності від
придбання ще однієї одиниці товару.
4. Якщо функція виражає обсяг виробленої продукції за часом t ,
тоді дає продуктивність праці в момент часу t, а є швидкість її змінювання і – темп змінювання продуктивності праці.
Еластичність функції
В економіці часто важливо знати відповіді на питання:
На скільки % зміниться попит на товар, якщо ціна на нього збільшиться на 1 %;
наскільки % зміниться пропонування товару, якщо ціна на нього збільшиться на 1% і т. д.
Такі питання і відповіді на них приводять до поняття еластичності (elastivity) функції.
Нехай задана функцію . і - відповідні прирости залежної та незалежної змінних. Тоді - відносний приріст незалежної змінної, - відносний приріст залежної змінної, а границя називається еластичністю функції відносно змінної х і позначається .
Таким чином, .
Еластичність функції показує наближений відсотковий приріст функції, що відповідає приросту незалежної змінної на один відсоток.
Нехай є функцією попиту на деякій товар. Оскільки попит є спадною функцією ціни тобто при зростанні ціни кількість проданої продукції зменшується, то завжди . Якщо еластичність попиту по ціні , то підвищенню ціні х на один відсоток відповідає зниження попиту рівно на один відсоток. У цьому випадку попит називають адекватним вартості одиниці виробу (або нейтральний).
Якщо , тоді попит називають еластичним відносно ціни або доходу. Якщо , то попит нееластичним.
Таким чином для функції попиту на деякий товар в залежності від ціни значення показника еластичності дає можливість прогнозувати зміну попиту під впливом зміни ціни.