- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •1.1.Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами
- •1.3. Определители второго и третьего порядка
- •1.4. Определитель n-го порядка
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6. Алгебраические дополнения.
- •1.7. Ранг матрицы.
- •1.8. Обратная матрица.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.1. Основные понятия и определения.
- •2.2. Условие совместимости слау. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.3. Правило Крамера решения слау
- •2.4. Метод Гаусса
- •2.5. Решение произвольных слау
- •2.6. Системы однородных уравнений
- •2.7. Матричные уравнения
- •Глава 3. Векторы
- •3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия
- •4.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •4.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
- •4.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •4.4. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
- •4.7. Прямая в пространстве
- •4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •4.9. Окружность
- •4.10. Эллипс
- •4.11. Гипербола
- •4.12. Парабола
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 5. Функции
- •5.1. Понятие множества. Логическая символика
- •5.2. Понятие функции. Основные свойства функции
- •5.3. Основные элементарные функции
- •5.4. Элементарные функции. Классификация функций.
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел числовой последовательности
- •6.2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •6.3. Бесконечно малые величины
- •6.4. Бесконечно большие величины
- •6.5. Основные теоремы о пределах
- •6.6. Признаки существования предела
- •6.7. Первый замечательный предел
- •6.8. Второй замечательный предел
- •6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке
- •6.10.Классификация точек разрыва
- •Раздел III. Дифференциальное исчисление
- •Глава 7. Производная и дифференциал
- •7.1. Физический и геометрический смысл производной
- •7.2. Определение производной. Свойства
- •7.3. Производная сложной и обратной функций
- •7.4. Производные тригонометрических функций
- •7.5. Производная обратных тригонометрических функций
- •7.6. Производная показательной, логарифмической и степенной функций
- •7.7. Производная гиперболических функций
- •7.8. Логарифмическая производная. Производная неявной и параметрической функции
- •7.9. Дифференциал функции
- •7.10. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.1. Теорема Ферма
- •8.2. Теорема Ролля
- •8.3. Теорема Лагранжа
- •8.4. Теорема Коши
- •8.5. Правило Лопиталя
- •8.6. Формулы Тейлора и Маклорена
- •Глава 9. Приложения производной
- •9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума
- •9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •9.3. Асимптоты графика функции
Раздел II. Введение в математический анализ
Глава 5. Функции
5.1. Понятие множества. Логическая символика
Множество – любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Примеры множеств – множество студентов академии, факультета, набор трех уравнений, множество всех целых чисел.
Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы – строчными; – х элемент множества X; – x не является элементом множества X. – множество Х состоит их элементов .
Пусть Х и Y – два множества. Если они состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, то есть Х=Y. Если каждый элемент множества Х является элементом множества Y, то (Х содержится в Y) и Х – подмножество Y.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым .
Пусть Х – множество, имеющее свойство Р(х), тогда обозначает совокупность тех элементов Х, которые обладают свойством Р(х).
Объединением множеств А и В называется множество .
Пересечением множеств А и В называется множество .
Разностью множеств А и В называется множество .
Верхняя и нижняя границы множества.
Говорят, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число С такое, что для любого выполнено . С – верхняя (нижняя) грань множества Х. С=sup X – верхняя, C=inf X – нижняя.
Логическая символика.
Пусть - некоторые утверждения. Тогда – не , то есть отрицание утверждения .
- из следует ; – эквивалентно ;
- и - конъюнкция; – или – дизъюнкция;
для всякого элемента истинно утверждение . ( – квантор всеобщности);
существует элемент такой, что для него истинно утверждение . ( – квантор существования).
Принцип математической индукции: .
Числа.
Натуральные числа 1, 2,3,…- N.
Целые числа – Z, Z0 –множество всех неотрицательных чисел (и 0).
Q – множество рациональных чисел, x = m/n.
I – множество иррациональных чисел
R – множество действительных (вещественных) чисел, числовая прямая.
Модуль: .
Если , то ; это называются – окрестностью точки .
5.2. Понятие функции. Основные свойства функции
Часто приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. При изменении движения путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от времени. Путь – функция времени. Если радиус круга R принимает различные значения, то площадь тоже будет принимать различные значения. S – функция R. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция . х – независимая переменная, y—зависимая переменная.
Частные значения получаются, если аргументу х придавать частные значения. Пусть у = х2, при х=2 будет у=4, при х = –0,6 у=0,36 и так далее.
Запись у(х)=4; у(-0,6)=0,36. Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.
Способы задания функции
Три основных способа – аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ состоит в том, что зависимость задается в виде формулы, указывающей, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции .
Табличный способ заключается в том, что в определенном порядке записываются значения х и соответствующие значения у. Конечное число аргументов.
Графический способ часто используется в практике физических измерений. Аргументы – абсциссы, функция – ординаты. Следовательно, график F(x) – множество точек плоскости.
Рассмотрим основные свойства функции
1. – функция чётная, – функция нечётная.
Если функция не является ни чётной, ни нечётной, то говорят, что функция общего вида.
2. Монотонность.
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента из множества X соответствует большее значение функции ( , то ).
Функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( , то ).
3. Ограниченность.
Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число , что для любого .
4. Периодичность.
Функция f(x) называется периодической с периодом , если выполняется равенство .