5.6.Позиционные сс.
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.
Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:
,
где ak
— это целые числа, называемые цифрами,
удовлетворяющие неравенству
.
Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
1 — единичная (как позиционная может и не рассматриваться; счёт на пальцах, зарубки, узелки «на память» и др.);
2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
3 — троичная;
4 — четверичная;
10 — десятичная (используется повсеместно);
12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах[источник не указан 69 дней]);
60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).
Обобщением b-ричных систем счисления являются комбинированные системы счисления, в которых может использоваться несколько оснований.
5.7.Алфавит, основание системы счисления.
Афавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.(десятичная, двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная)
5.8.Формы записи чисел в позиционных системах счисления.
Свернутой формой записи числа называется запись в виде
A=an-1an-2...a1a0,a-1...a-m
Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Пример . Десятичное число 4718,63 двоичное число 1001,1 восьмеричное число 7764,1
шестнадцатеричное число 3АF16
Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим.
В позиционной системе счисления любое вещественное число в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:
Аq= ± (an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m)
Здесь А — само число,
q — основание системы счисления,
ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n — число целых разрядов числа,
m — число дробных разрядов числа.
Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления
Пример Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:
А10=4•103+7•102+1•101+8•100+6•10-1+3•10-2
Двоичное число А2=1001,1 А2=1•23+0•22+0•21+1•20+1•2-1
Восьмеричное число А8=7764,1 А8=7•83+7•82+6•81+4•80+1•8-1
Шестнадцатеричное число А16=3АF16 А16= 3•162+10•161+15•160