§15. Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.

П усть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MM_o на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, MM_o= z. Обозначим  =OM,  = M_oOM ; при этом, если z >0, то считаем, что  >0, а если z <0, то  <0. Пусть (r, ) – полярные координаты точки M_o на

плоскости. Тогда тройка (r, , ) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, , z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0   < +, –/2    /2 . Если  =  /2, то точка M лежит на оси Oz, M_o= O и тогда  считается неопределенным.

Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки M. Из OMM_o находим, что

r = cos ,  = ,

z = sin . ⁽¹⁵⁾  = arcsin ^(15)

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а  у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14 ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14 ) в (15) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x =  cos cos ,  = ,

y =  sin cos , (16)  =  arccos , (16)

z = sin .  = arcsin( z /) .

Во второй формуле из (16) знак выбирается в соответствии со знаком y.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса , то  и  будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(, ). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то  и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(, z).

Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий.

§16. Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и Oxy, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O.

Пусть нам известны координаты точки O относительно первой СК: O(a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x, y) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

OO(;\s\up10( –((a, b), OM;\s\up10( –((x, y), O(M;\s\up10( –((x, y).

По правилу треугольника сложения векторов

OM;\s\up10( –( = OO(;\s\up10( –( + O(M;\s\up10( –(.

Отсюда

(17) 

(17)

x = x + a, x = x – a,

y = y + b. y= y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O(a, b, c), то к

формулам (17) и (17 ) только добавятся равенства z= z + c и z = z+ c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

П усть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Oxy. Пусть  – ориентированный угол между положительными направлениями осей Ox и Ox. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол . Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x, y) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть  – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором OM;\s\up10( –(, а  – между Ox и OM;\s\up10( –(. Тогда  =  +  . Обозначим r =OM. Тогда



x = r cos  , x= r cos ,

y = r sin  . y= r sin  .

x = r cos ( + ) = r cos  cos  – r sin sin  = xcos  – ysin ,

y = r sin ( + ) = r cos  sin  + r sin cos  = ysin  + ycos .

Итак,

(18)

x = xcos  – ysin ,

y = xsin  + ycos .

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – , то с учетом cos() = cos , sin() = – sin  , из (18) получаем

(18)

x= x cos  + ysin ,

y= – x sin  + ycos .

Е сли в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

В ажно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M (x, y) получается из точки M(x, y) поворотом вокруг начала координат на угол  . Для того, чтобы найти, как выражаются (x, y) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол –  . Поэтому имеем формулы

(19)

x= xcos  – ysin ,

y= ysin  + ycos .

Д опустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и Oxy. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O (получим промежуточную СК Oxy), а затем – поворот координатных осей. Тогда

x= x – a, x = x+ a,

y= y – b. y = y+ b.

x = xcos  + ysin , x= xcos  – ysin ,

y = –xsin  + ycos . y= ysin  + ycos .

Подставляя x и y из первой системы в третью, получаем, что

x= (x – a)cos  + (y – b)sin ,

y= –(x – a)sin  + (y – b)cos .

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x, y ).