24. Теорема Коші про проміжні значення неперервної ф-ції

№25. Теорема Веєрштраса про межі неперервної ф-ції на відрізку

№26. Рівномірна неперервність: означення, теорема Кантора

Рівномірна неперервність - це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення. Дійснонозначна функція дійсного змінного рівномірно неперервна, якщо

Вибір δ у визначенні рівномірної неперервності залежить від , але не від x₁,x₂..

№27. Похідна: означення, приклади.

Геометричний смисл похідної

№28. Диференціал.

29. Похідна суми, різниці, добутку та частки.

30. Похідна оберненої функції. Похідна від всіх елементарних функцій.

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Доказательство  [скрыть]

Пусть - дифференцируемая функция, . Пусть - приращение независимой переменной y и Δx - соответствующее приращение обратной функции . Напишем тождество

Переходя в этом равенстве к пределу при , которое влечет за собой стремление к нулю ( ), получим:

, где x'_y - производная обратной функции.

Замечание Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

31. Властивості диференціала.

32. Похідні вищих порядків.

33. Диференціали вищих порядків.

34. Теореми Ферма та Ролля.

35. Теорема Лагранжа та її наслідки.

36. Теорема Коші про скінченні прирости.

Якщо кожна з двох функцій та неперервна на проміжку та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, окрім того, похідна відмінна від нуля скрізь у проміжку , то на цьому проміжку знайдеться точка така, що має місце формула:

.

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

Доведення

Перш за все покажемо, що . І справді, якщо б це було не так, то для функції на проміжку були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку знайшлася б точка така, що . Останнє протирічить умові теореми. Отже, , і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

В силу умов, які накладено на функції та , функція неперервна на проміжку та знайдеться точка така, що

Маючи на увазі те, що

,

і використовуючи рівність (3) отримаємо:

Враховуючи, що з рівності (4) отримуємо формулу Коші:

Теорему доведено.

37. Правило Лопіталя розкриття невизначеностей.

38. Загальна теорема про асимптотичний розклад; асимптотичні розклади основних елементарних функцій та їх застосування для обчислення границь

39. Узагальнена теорема Лагранжа та її застосування до наближених обчислень.

40. Застосування похідної до дослідження монотонності.

41. Локальний екстремум: означення, необхідні і достатні умови.

42. Опуклість функції.

43. Обчислення похідних та диференціалів від функцій заданих параметрично або неявно.

44. Границя послідовності та функції з багатовимірним означенням.

45. Похідна, диференціал та інтеграл векторної функції однієї змінної.

46. Геометричний смисл вектор-функції та її похідної.

47. Довжина кривої: означення,т похідна від довжини, природна параметризація кривої.

48. Первісна та невизначений інтеграл: означення та найпростіші властивості.

49. Заміна змінних та інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.

50. Визначений інтеграл: означення, зв’язок двох варіантів інтеграла Рімана, необхідна умова інтегрованості.

51. Критерій інтегрованості функції за Ріманом через суми Дарбу.

52. Достатні умови інтегрованості за Ріманом.

53. Найпростіші властивості інтеграла Рімана.

54. Теореми про середнє для інтеграла.

56. Інтеграл Рімана як функція змінної верхньої межі. Відновлення функції за її похідною. Формула Ньютона_Лейбніца.

56. Інтегрування частинами та заміна змінних у визначеному інтегралі.

57. Невласні інтеграли: означення, обчислення, критерії збіжності.

58. Загальна схема застосування інтеграла та приклади: площа поверхні та об’єм тіла обертання, середнє значення неперервної функції, площа криволінійної трапеції.