5. Средняя арифметическая и её свойства, методы расчёта.

Средняя в статистике - обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку, определяющая уровень признака в расчете на единицу совокупности.

Средняя арифметическая и условия ее применения

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака всей совокупности образуется как сумма значений этого признака у ее отдельных единиц.

Формулы и техника расчетов следующие:

-простой средней арифметической (невзвешенной)

-взвешенной средней арифметической

Пример 1.3.8. По данным табл. 1.6.2, повторно приведенной далее, осуществим расчет среднего производственного стажа работников, используя формулу арифметической простой (невзвешенной)

Таблица 1.6.2

Производственный стаж работников и их среднемесячная выработка изделий

Номер раб. по списку Произв стаж, лет Среднемесячная выработка изделий, шт.

1 8 10

2 2 6

3 6 7

4 1 6

5 4 9

6 2 8

7 10 12

8 5 10

9 4 8

10 3 7

11 6 9

Применение арифметической средней объясняется тем, что объем варьирующего признака для всей совокупности - общее число проработанных лет работниками (51 год), образуется как сумма стажа каждого работника.

Расчет средней арифметической по данным ряда распределения имеет свои особенности. Проиллюстрируем эти особенности по данным группировки в табл. 1.3.5.

Таблица 1.3.5

Расчет среднего производственного стажа работников на основе ряда распределения

Стаж, лет Число работников, f Середина интервала х xf

1 - 4 4 2.5 10.0

4 – 7 5 5.5 27.5

7 – 10 2 8.5 17.0

Итого 11 - 54.5

В данном случае следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной, поскольку интервальные значения признака встречаются не один раз, и эти числа повторений (частоты) не одинаковы.

Конкретными значениями признака, которые должны непосредственно участвовать в расчетах, служат середины (центры) интервалов (но не средние в интервалах значения!), а весами - частоты:

Данный результат отличается от полученного на основе средней арифметической простой. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы располагаем не исходными индивидуальными данными, а лишь сведениями о величине середины (центра) интервала.

Средняя гармоническая и условия ее применения

Формулы и техника расчета средней гармонической следующие:

-простой средней гармонической

-взвешенной средней гармонической

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда весами являются не частоты f, а произведения этих частот на значения признака: М = xf.

Пример 1.3.9. Имеются следующие данные (табл. 1.3.6).

Таблица 1.3.6

Заработная плата рабочих в цехах предприятия

Цех Средняя заработная плата, руб. Фонд заработной платы, тыс. руб.

Литейный 3820 191

Сборочный 2960 592

Вычислите среднюю заработную плату рабочих по предприятию в целом.

Решение

Средняя заработная плата рабочих по цехам может быть вычислена делением фонда заработной платы на численность рабочих. Этот подход должен быть сохранен и при расчете общей средней, т.е. в числителе дроби необходимо представить общий по всем цехам фонд заработной платы, а в знаменателе - общую численность рабочих. Однако фонд заработной платы по цехам (М) есть произведение средних заработков на число рабочих f. Фонд заработной платы - единственно возможный в данном случае соизмеритель - вес при расчете средней.

Оба эти обстоятельства обусловливают применение средней гармонической, а с учетом того, что заработки по отдельным цехам получают неодинаковые по численности группы рабочих, следует использовать среднюю гармоническую взвешенную. Тогда

При этом 783000 руб. - общий фонд заработной платы по предприятию, 250 чел. - общая численность работников (50 и 200 чел. - численность по каждому цеху в отдельности).

Если веса при расчете средней у отдельных единиц совокупности одинаковы, то средняя гармоническая взвешенная обращается в среднюю гармоническую простую:

(M выносится за скобки, поскольку является общим множителем). Проиллюстрируем расчет на условном примере.

Пример 1.3.10. Цена за единицу товара А, продаваемого в первой торговой точке, составила 20 руб., во второй - 30 руб. Какова средняя продажная цена товара, если выручка от продаж товара в торговых точках одинакова?

Решение

Поскольку весами при расчете средней являются выручки от продажи (товарооборота), а сама выручка представляет собой произведение цены х на количество проданного товара/, вычисления проводили по средней гармонической взвешенной, равенство весов позволяет осуществлять расчеты по формуле средней гармонической простой:

Структурные средние

Наряду с расчетом средней арифметической и средней гармонической для вариационных рядов распределения исчисляют структурные средние - моду, медиану.

Мода - это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

Медианой называется значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда и делит ряд пополам.

Пример 1.3.11. Имеются следующие данные (табл. 1.3.7).

Таблица 1.3.7

Месячная заработная плата рабочих группы малых предприятий одного из регионов

Группы рабочих по размеру заработной платы, руб. Число рабочих, чел.

2000-3000 15

3000-4000 35

4000-5000 75

5000-6000 40

6000-7000 25

Свыше 7000 10

Итого 200

Исчислите среднюю заработную плату, моду и медиану заработной платы рабочих малых предприятий.

Решение

По условию задачи имеется интервальный ряд распределениярабочих, поэтому средняя заработная плата исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной (сначала определим середину каждого интервала, т.е.

Следовательно, средняя месячная заработная плата рабочих малых предприятий составляет 4775 руб. Далее исчислим моду и медиану:

Следовательно, половина рабочих имеет среднемесячную заработную плату меньше 4667 руб., а половина - больше этой суммы.