- •3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •2. Свойства двойного интеграла
- •12. Функции комплексного переменного: определение, геометрический смысл. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
- •13. Дифференцируемость, производная фкп. Геометрический смысл производной.
- •14. Условие Коши – Римана. Понятие аналитической функции.
- •15. Функция ez и ее свойства.
- •18. Связь между аналитическими и гармоническими функциями.
12. Функции комплексного переменного: определение, геометрический смысл. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.
Определение: функция задана на множестве G содержащихся в C, со знач G называется функции комплексного переменного (ФКП).
G=D(f), G – область или замкнутая область, комплексной области С.
z=x+yi=r(cosφ+isinφ)=reiφ
w=u+iv=ρ(cos +isin )=
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
u(x,y) – Ref(z) – вещественная часть ФКП f(z)
v(x,y) – Imf(z) – мнимая часть ФКП f(z)
Задание этих функций равносильно заданию ФКП.
Геометрический смысл ФКП: с геометрической точки зрения w=f(z) есть отображение G комплексной z плоскости на множество G’, на комплексной w – плоскости.
Геометрическое изображнение ФКП. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.
Число w0 называется пределом функции w=f(z) в точке z0 (или при z→z0), если для каждого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех z≠z0, удволетворяющих неравенству |z-z0|<δ, выполняется неравенство |f(z)-w0|<ε.
Записывают:
Пусть функция w=f(z) определена в точке z=z0 и в некторой ее окрестности. Функция w=f(z) называется непрерывной в точке z0, если
Определение: функция f(z) непрерывна в точке z0, если бесконечно малому приращению аргумента соответсввует бесконечно малое приращение функции:
13. Дифференцируемость, производная фкп. Геометрический смысл производной.
Определение производной. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z=x+iy є C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.
В этом определении важно, что стремление ∆z→0 может проходить по любому пути. Вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x,y) и v(x,y), а требует некоторых дополнительных условий.
Определение: ФКП w=f(z) определяется в окрестности точки z0 ФКП w=f(z) называется дифференцируемой в точке z0, если существует комплексное число A=B+iC, такие что для приращения ∆w=f(z0+∆z)-f(z0) функция f(z) справедливо следующее представление: ∆w-α∆z+γ∆z, где γ=α-βi→0, ∆z→0.
14. Условие Коши – Римана. Понятие аналитической функции.
Условия Коши — Римана, называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную u=u(x,y) и мнимую v=v(x,y) части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного w=f(z)=u+iv, z=x+iy.
Для того чтобы функция w=f(z), определённая в некоторой области D комплексной плоскости, была дифференцируема в точке z0=x0+iy0 как функция комплексного переменного z, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части u и v были дифференцируемы в точке (x0,y0) как функции вещественных переменных x и y и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
Доказательство:
1) Пусть ∆y=0,∆x→0
Тогда
2) Пусть ∆x=0,∆y→0
Тогда
Итак, , поэтому
Данные условия необходимы, но не достаточны
Теорема: пусть дана f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
Пусть u(x,y) и v(x,y) - дифференцируемы в точке (x0,y0), и в этой области выполняется условие Коши-Римана. Тогда f(z) - дифференцируема в точке z0=x0+iy0
Доказательство:
,α - бесконечно малая
, β - бесконечно малая
Надо доказать, что существует предел:
3) w=f(z) называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области
4) Функция называется аналитичной в области G, если она дифференцируема в области G
Понятие аналитичности функции относится к области, но бы и про конкретную точку будем говорить, что функция аналитична в этой точке, имея ввиду аналитичность в окрестности этой точки
1).Производной функции f(z) в точке z0 мы будем называть предел отношения вида:
2).Функция называется дифференцируемой в точке z0, если у неё в этой точке существует конечная производная. Учитываются все пути ∆z→0