- •1.Задача о вычислении объема цилиндрического тела. Двойной интеграл.
- •2.Свойства двойного интеграла
- •1. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s - площадь области d.
- •3.Замена переменных в двойном интеграле.
- •4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
- •1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области
- •2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области
- •5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
- •6.Тройной интеграл.
- •7.Свойства тройного интеграла.
- •2.11. Свойства тройного интеграла
- •8. Вычисление тройного интеграла в Декартовой системе координат.
- •9.Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.
- •10. Вычисление тройного интеграла в сферической системе координат
- •11.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля.
- •12.Производная по направлению скалярного поля.
- •13.Градиент скалярного поля, его свойства
- •14.Векторное поле. Векторные линии векторного поля.
- •15.Поверхностный интеграл первого рода, его свойства.
- •16.Методы вычисления поверхностного интеграла первого рода.
- •17.Поток векторного поля, его гидродинамический смысл.
- •18.Поверхностный интеграл второго рода, его свойства.
- •19.Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
- •20.Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса.
- •2) Если функцию f(X,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги ав, то - масса дуги ав.
- •22.Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •24.Криволинейный интеграл второго рода, его свойства.
- •4) Составим интегральную сумму вида
- •25.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •26. Формула Грина
- •27.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •2) Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек m0 и м;
- •4) В каждой точке области d.
- •28.Циркуляция вектора. Теорема Стокса.
- •29. Числовой ряд. Сходимость числового ряда
- •32. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •33. Знакоположительные числовые ряды. Признаки сравнения.
- •35. Радикальный признак Коши
- •36. Интегральный признак Коши
- •37. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •38. Достаточный признак сходимости знакочередующегося числового ряда (Теорема Лейбница)
- •39. Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда.
- •40. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •41. Свойства степенных рядов.
- •1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо .
- •2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
- •42. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора.
35. Радикальный признак Коши
Теорема Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел
при , т.е.
,
то 1) при < 1 – ряд сходится;
2) при > 1 – ряд расходится.
Замечание. Как и в признаке Даламбера, случай , требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся. Так для гармонического ряда имеем: , но он расходится. Рассмотрим другой числовой ряд . Для него так же имеет место равенство , но он сходится по первому признаку сходимости. Заметим, что если отбросить первый член, то члены оставшегося ряда будут меньше соответствующих членов ряда , который сходится.
36. Интегральный признак Коши
Теорема Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. , а функция , определена при , непрерывная и не возрастающая и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .
37. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременных рядов.
Теорема 1. Если знакопеременный ряд u₁+ u₂+…+ un + … (1) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, | u₁|+ |u₂|+…+ |un | +… (2) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Док-во: Пусть Sn и σn —суммы n первых членов рядов (1) и (2).
Пусть далее Snʹ —сумма всех положительных, a Sn ʺ —сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов данного ряда; тогда Sn = Snʹ - Sn ʺ, σn = Snʹ + Sn ʺ
По условию, σn имеет предел σ; Snʹ и Sn ʺ положительные возрастающие величины, меньшие σ. Следовательно, они имеют пределы Sʹ и Sʺ. Из соотношения Sn = Snʹ - Sn ʺ следует, что и Sn имеет
предел и этот предел равен Sʹ - Sʺ, т. е. знакопеременный ряд (1) сходится.
Опр. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Если ряд , а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся.
Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов. (Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов)
Теорема 3. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того,можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.