- •Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема 3. Аналитическая геометрия
- •Список литературы
- •Решение типового варианта контрольной работы Задача №1.
- •Задача №2.
- •Задача №3.
- •Задача №4.
- •Задача №5.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 1.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 2.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 3.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 4.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 5.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 6.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 7.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 8.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 9.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 10.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 11.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 12.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 13.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 14.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 15.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 16.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 17.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 18.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 19.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 20.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 21.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 22.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 23.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 24.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 25.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 26.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 27.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 28.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 29.
- •Контрольная работа № 3 Вариант 30.
Задача №2.
Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание.
1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:
(3.7)
Тогда уравнение плоскости в силу уравнения (3.7) имеет вид или .
Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: .
2) Найти нормальный вектор плоскости .
Решение.
Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты .
Рис. 3
Для плоскости нормальным является вектор = .
Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости.
3) Найти косинус угла между плоскостями и .
Решение.
Угол между двумя плоскостями и представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством
Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для плоскости - равенствами , , . Следовательно, = .
4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости : .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид
(3.8)
Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : .
Условие параллельности плоскостей и имеет вид
(3.9)
Так как плоскости и параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .
5) Найти расстояние от точки до плоскости : .
Решение.
Расстояние от точки до плоскости представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой
(3.10)
Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Следовательно, .
6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .
Решение.
Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид
(3.11)
Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения или .
7) Найти направляющий вектор прямой .
Решение.
Направляющий вектор - это вектор, параллельный прямой.
Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор имеет координаты .
Рис. 4
Для рассматриваемой прямой направляющим вектором является вектор .
Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой.
8) Найти косинус угла между прямыми и .
Решение.
Угол между двумя прямыми и представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством
Для прямой координаты направляющего вектора определяются равенствами , , . Для прямой - равенствами , , . Значит, .
9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой : .
Решение.
Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь - координаты точки, через которую проходит прямая.
В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим: .
Условие параллельности прямых и имеет вид
(3.12)
Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид .
10) Найти угол между прямой : и плоскостью : .
Решение.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен , где - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.
Рис. 5
Угол между прямой и плоскостью определяется формулой
Для плоскости : координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для прямой : координаты направляющего вектора - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен = . Следовательно, .
11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой : .
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид .
Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: .
Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид
(3.13)
Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: .
12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости : .
Решение.
Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид .
Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим:
Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид .
Так как прямая перпендикулярна плоскости , то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид: .
13) Найти координаты точки пересечения прямой : и плоскости : .
Решение.
Координаты точки пересечения прямой и плоскости представляют собой решение системы
(3.14)
Запишем параметрические уравнения прямой : и подставим выражения для в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, .