Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

КАФЕДРА «СРЕДСТВА СВЯЗИ и ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

ДИСЦИПЛИНА «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1

1. Модели дискретных каналов с постоянными и переменными параметрами. Модель Гильберта. Имитационно-параметрические модели.

1. Модели дискретных каналов связи

(рисунки и формулы пожалуйста уж найдите сами в методичке) Р ассмотрим модель дискретного канала связи, которая соответствует сечениям этого канала "вход манипулятора - выход регенератора". Будем считать, что выполняются условия жесткой синхронизации опорных генераторов на приемной и передающей стороне радиолинии, а время распространения сигнала постоянно (для простоты будем считать, что оно равно нулю). На рис. 1.1 изображена структурная схема модели дискретного канала связи, которая служит имитатором входных воздействий для декодирующего устройства (ДКУ).

Рис. 1.1

Принятые обозначения:

• ГПОШ - генератор потока ошибок;

• | + | - сумматор "по модулю два";

• аi - параметры, характеризующие условия связи;

• B(n) - поток (вектор) ошибок.

С ообщение S1(n), имитируемое входное воздействие S2(n) для ДКУ и поток ошибок B(n) являются бинарными последовательностями:

S1(n) = {0, 1}; S2(n) = {0, 1}; B(n) = {0, 1}

(1.1)

Н аиболее простой моделью потока ошибок является модель независимых ошибок, которая не учитывает их группирования. Если вероятность ошибки элемента задана величиной Рош, то алгоритм такого рода модели потока ошибок можно описать следующим выражением:

B(n) = [R(n) + Pош]

(1.2)

где [ Z ] - целая часть числа Z; R(n) - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1]. П ри некогерентном приеме сообщений вероятность ошибки зависит от отношения сигнал / помеха на входе демодулятора следующим образом:

(1.3)

где М - параметр вида манипуляции (для амплитудной телеграфии (АТ): М= 4; для частотной телеграфии (ЧТ) : М = 2; для относительной фазовой телеграфии (ОФТ) : М = 1), k - коэффициент энергетических потерь, который зависит от качества демодулятора,  - отношение энергии активного элемента сообщения к спектральной плотности мощности шума:

(1.4)

где A - амплитуда полезного сигнала, V - скорость манипуляции,   - спектральная плотность мощности шума на входе демодулятора. В еличина   и общепринятое обозначение величины отношения сигнал/помеха   тождественно совпадают для случаев ОФТ и ЧТ сигналов. Для АТ сигналов

(1.5)

П ри формировании потока ошибок в случае ОФТ сигналов нужно учитывать такой важный момент , как появление ошибок преимущественно парами [12]. Это явление в модели учитывается следующим образом. Выражение для вероятности ошибок

(1.6)

решается относительно переменной Рфт :

(1.7)

П олученный при этом поток ошибок преобразуется по следующему алгоритму:

(1.8)

т. е. производится суммирование "по модулю два" следующих друг за другом значений полученного для ФТ потока ошибок. При этом имеющие место для ФТ сигналов одиночные ошибки удваиваются, а ошибки, следующие в пачке непрерывно друг за другом, компенсируются в середине этой пачки и остаются по одной на ее краях, что соответствует реальному положению вещей [12]. Н а рис. 1.2 приведена блок-схема модели генератора потока ошибок.

Рис. 1.2

На этом рисунке введены новые обозначения:   - мощность шума в полосе частот F, R(0) - начальное случайное число.

Генератор ошибок содержит четыре модуля: 1) модуль   определяет значение этой величины по формуле (1.4 ); 2) модуль Рош определяет значение вероятности ошибок по формуле (1.3 ); 3) модуль В(n) формирует поток ошибок с учетом вида модуляции; 4) модуль R(n) формирует поток случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [ 0 , 1 ]. И зменяя входные параметры модели, можно проводить исследования зависимости потока ошибок от значений этих параметров. Если при этом начальное значение случайных чисел остается одним и тем же, то влияние за счет стохастичности процесса исключается. Так, например, при увеличении амплитуды сигнала уменьшается вероятность ошибок и соответственно их число в потоке ошибок. Местоположения правильно принятых элементов не меняются с увеличением амплитуды этого сигнала в последующих циклах испытаний, так как принятые правильно при меньшей амплитуде сигнала элементы не могут при одном и том же значении начального случайного числа быть принятыми ошибочно, когда амплитуда сигнала будет увеличиваться. Этот факт позволяет в вычислительных экспериментах существенно экономить машинное время, так как нет необходимости при большей мощности сигнала проверять на наличие ошибок те местоположения, где они отсутствовали при меньшей мощности сигнала. Так как обычно исследуются каналы с малой вероятностью ошибок (порядка 0,1 - 0,001), то экономия машинного времени при повторных вычислениях составляет десятки и сотни раз. Для осуществления этой процедуры достаточно фиксировать значения случайных чисел, которые соответствуют местоположениям ошибочно принятых элементов при минимальных уровнях сигналов, или же в процессе проведения вычислительного эксперимента производить варьирование по всем заданным градациям уровня сигнала в те моменты времени, когда фиксируется ошибка. О писанная модель имеет единственный параметр - Рош . Так как каналы с независимым распределением ошибок встречаются в природе крайне редко, то естественным является желание исследователей разработать модели, которые бы отражали явление группирования ошибок как можно более точно. Эта проблема решалась многими учеными как отечественными, так и зарубежными [6-8]. Одной из первых была модель, описанная в [7], которая в литературе получила название "модель Гильберта". Эта модель относительно простая и предполагает два состояния канала связи: "хорошее" и "плохое". В одном ("хорошем") состоянии ошибки отсутствуют, а в другом ("плохом") - они происходят с вероятностью Рош. Последовательность состояний образует простую цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей

(1.9)

Очевидно, что Р00 + Р01 = 1 и Р11 + Р10 = 1. Для группирования ошибок в пакеты необходимо выполнение условия P01 << P00 и P10 << P11. Обычно в каналах, используемых для передачи сообщений, пакеты с ошибками значительно меньше по длительности пакетов с правильно принятыми элементами. Модель Гильберта удовлетворяет этому условию, если выполняется неравенство Р01 < Р10. Модель Гильберта характеризуется тремя параметрами: Р01, Р10, Рош и является первым приближением к реальному каналу. Эллиот [8] обобщил модель Гильберта, введя дополнительный параметр. Он принял, что Рош2 << Рош1, где Рош1 - вероятность ошибки для "плохого", а Рош2 - для "хорошего" состояния канала. Кроме того, он же предложил в сложных случаях представлять дискретные каналы совокупностью отдельных компонентов, каждый из которых имеет четыре параметра. Для самого сложного случая Эллиот использовал три обобщенных канала Гильберта, что потребовало задания 12 параметров.  Д ругого рода обобщением модели Гильберта является модель Смита-Боуэна-Джойса [17]. Эта модель определяет не только пакетирование ошибок, но и группирование пакетов. В этой модели три состояния: одно - "плохое" с вероятностью ошибки близкой к 0,5, а два других - "хороших" с малыми вероятностями ошибок. Переход из одного "хорошего" состояния в другое "хорошее" запрещен. Матрица переходных вероятностей для этой модели записывается в следующем виде:

(1.10)

Условие формирования пакетов: Р02 << Р12. Н аиболее общей моделью такого рода является модель Фричмана-Свободы [18], которая предполагает число состояний канала связи произвольным, что позволяет добиться наиболее высокой адекватности этой модели с реальными каналами связи. И звестна модель Беннета-Фройлиха [19], которая имеет три параметра : вероятность появления пакета ошибок, распределение продолжительности пакетов и вероятность ошибки в пакете. Пакеты ошибок появляются независимо друг от друга. М одель Попова-Турина является обобщением модели Беннета-Фройлиха [19]. Она предполагает независимое возникновение цепочек пакетов ошибок. Распределение длин цепочек полагается геометрическим. Независимо появляющиеся на интервале цепочки пакеты ошибок имеют продолжительность, описываемую полигеометрическим законом. Внутри пакета задается условная вероятность ошибки. П . Мертц выдвинул гипотезу о гиперболическом распределении интервалов между пакетами ошибок с пуассоновским распределением ошибок внутри пакета [20]. П ользуется известностью модель Бергера-Мандельброта [19], в которой интегральная функция распределения длин интервалов между ошибками подчиняется закону Парето с показателем а < 1:

(1.11)

П редставляет интерес двухпараметрическая модель дискретного канала Л. П. Пуртова [21], в которой вероятность появления хотя бы одной ошибки на интервале сообщения длиной n элементов описывается приближенным выражением :

(1.12)

Параметр а - показатель группирования ошибок: при а --> 0 имеет место случай независимого появления ошибок, при а --> 1 появляются групповые ошибки. Для КВ каналов связи частотной телеграфии в зависимости от мощности передатчиков рекомендуется брать значения а = 0,373 для мощности 20 кВт и а = 0,550 - для мощности передатчика 1 кВт . Параметр а зависит от интервала декорреляции ошибок. С увеличением интервала декорреляции ошибок а уменьшается. В се вышеописанные математические модели дискретного канала связи являются, как уже говорилось, феноменологическими и совершенно не отражают физики процесса, протекающего в среде распространения. Этим объясняется недостаточная адекватность такого рода моделей реальным каналам связи во многих случаях , когда ситуация отличается от штатной. Например, КВ канал отличается многообразием условий распространения сигнала и наличием различного рода аддитивных помех. Классифицировать все возможные ситуации, которые складываются на практике при проведении вычислительных экспериментов с помощью феноменологических моделей, не представляется возможным. Поэтому при моделировании дискретных КВ каналов связи более предпочтительными являются имитационно-параметрические модели [14-16], математический аппарат которых более явно описывает физику протекающих в канале связи процессов.  Р ассмотрим более подробно один из вариантов имитационно-параметрической модели дискретного КВ канала связи. В декаметровом канале связи основными причинами ошибок являются замирания сигнала и аддитивные помехи. Вероятность ошибки является функцией времени и зависит от отношения сигнал / помеха, которое реализуется в тот или другой момент времени. Отношение сигнал / помеха обусловлено уровнями сигнала и аддитивных помех. Основными аддитивными помехами являются атмосферные шумы и помехи от посторонних радиостанций (станционные помехи). Законы замираний сигналов и помех изучены достаточно хорошо [22, 23] и могут быть воспроизведены с помощью ЭВМ с достаточной степенью точности. Поэтому не составляет большого труда получить поток ошибок, который будет хорошо соответствовать реальному потоку на выходе дискретного канала связи (на выходе регенератора). Рассмотрим в качестве примера более подробно канал с медленными замираниями сигнала и с постоянным уровнем шума. Значение амплитуды сигнала на входе демодулятора А2(t) зависит от коэффициента передачи среды распространения М(t):

A2(t) = A1 * M(t)

(1.13)

где A1 - амплитуда сигнала на входе непрерывного канала связи, включающего в себя среду распространения.  З аконы замирания станционных помех принципиально не отличаются от законов замирания сигнала. В первом приближении станционные помехи можно считать шумоподобными, со спектральной плотностью мощности, которая изменяется согласно закону замирания данной помехи. Спектральная плотность мощности атмосферного шума меняется относительно медленно и для отдельных сеансов связи может считаться постоянной. Зная спектральные мощности станционных помех и атмосферного шума, а также уровень полезного сигнала в каждый момент времени, можно определить для этого момента времени отношение сигнал/шум, а следовательно, и вероятность ошибки элемента сообщения. В свою очередь, зная вероятность ошибки элемента, можно, как это уже было показано выше, по формуле (1.2) для данного момента времени определить значение реализации вектора ошибки. В последующих главах описаны программы, в основе которых лежит вышеприведенный алгоритм имитационной модели потока ошибок на выходе дискретного канала связи.

Экзаменатор к. т. н, доцент В.Л. Хазан

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

КАФЕДРА «СРЕДСТВА СВЯЗИ и ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

ДИСЦИПЛИНА «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2

1. Модели шума. Белый шум. Низкочастотный шум с ограниченной полосой.

Белый шум – дельта-коррелированный сигнал, нормальный двумерный случайный марковский процесс. (глава 3). ФНЧ обеспечивает «сглаживание» сигнала, т.е. достаточно большой, близкий к 1, коэффициент автокорреляции. (в тетради записана умная фраза – все следующие значения в некотором диапазоне с некоторой вероятностью)

Экзаменатор к. т. н, доцент В.Л. Хазан

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

КАФЕДРА «СРЕДСТВА СВЯЗИ и ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

ДИСЦИПЛИНА «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3

1. Модели канала связи с замираниями. Релеевские и райсовские замирания. Модель усеченных и односторонних нормальных замираний.

Модель однолучевого дискретного канала связи с замираниями и станционными помехами

Вероятность ошибок в дискретных каналах связи зависит от отношения сигнал/помеха и описывается выражением (1.3). Отношение сигнал/помеха Н зависит от уровня сигнала, скорости манипуляции и спектральной плотности мощности помех на входе демодулятора (1.4). Спектральная плотность мощности помех ² содержит два основных компонента: спектральную плотность атмосферного шума ²_аш и спектральную плотность станционных помех ²_сп. Амплитуда сигнала A и спектральная плотность мощности станционных помех ²_сп, как правило, все время меняют свое значение из-за условий распространения декаметровых радиоволн в атмосфере. Поэтому вероятность ошибки в дискретных каналах связи декаметрового диапазона радиоволн является функцией времени. Для моделирования потока ошибок в этих каналах связи необходимо произвести моделирование амплитуды сигнала и спектральной плотности мощности станционных помех как случайных функций времени. Далее будем считать, что амплитуда сигнала может меняться по законам изменения модуля вектора нормального двумерного марковского случайного процесса в соответствии с задаваемыми параметрами этого процесса, а уровень станционных помех изменяется по закону Релея. Частными случаями замираний сигнала являются релеевские (регулярная составляющая равна нулю, коэффициент взаимной корреляции квадратур случайного компонента равен нулю), райсовские (коэффициент взаимной корреляции квадратур равен нулю, регулярная составляющая не равна нулю) и односторонние усеченные нормальные (коэффициент взаимной корреляции квадратур равен единице). Если в последнем случае регулярная составляющая равна нулю, то имеет место односторонний нормальный закон замираний сигнала, который является самым неблагоприятным. Задавая значения коэффициента взаимной корреляции квадратур в пределах интервала [0, 1], можно получать законы замираний, имеющие промежуточный вид между вышеперечисленными. Алгоритмы формирования двумерных марковских процессов с модулями векторов, имеющих требуемые распределения вероятностей, описаны в гл. 3.

3. Модель нормального двумерного марковского случайного процесса

Для моделирования различных законов замирания сигнала (релеевского, райсовского, одностороннего нормального и т. д.) требуется формирование нормального двумерного случайного процесса [22, 23]. Известно, что модуль вектора центрированного нормального процесса с некоррелированными квадратурами имеет релеевское распределение, а модуль вектора такого рода нецентрированного нормального процесса распределен по закону Райса (обобщенному закону Релея) [30, 31]. В случае абсолютной корреляции квадратур центрированного нормального процесса его модуль имеет одностороннее нормальное распределение. Скорость замираний сигнала в этом случае будет обусловлена значениями коэффициентов автокорреляции квадратур нормального процесса. Поэтому нормальный случайный процесс при моделировании замираний сигнала должен быть, как минимум, марковским.

Формирование двумерного нормального коррелированного (марковского) процесса может быть произведено с помощью двумерного нормального некоррелированного процесса. Для формирования одной выборки (вектора) такого процесса нужно иметь два случайных равномерно распределенных числа, полученных с помощью ГСЧ. Наиболее рациональный алгоритм формирования выборок нормального процесса заключается в том, чтобы для каждой выборки получить значения двух параметров: модуля вектора r, который распределен по релеевскому закону, и угла Ф (в радианах) между направлением вектора и осью абсцисс, который распределен равномерно. Это можно реализовать с помощью следующих выражений [27]:

r = ; (3.1)

Ф = 2пRDN2, (3.2)

где RDN1 и RDN2 - пара случайных чисел, полученных с помощью ГСЧ.

Зная r и Ф, можно найти проекции случайного вектора на оси координат (квадратуры), которые имеют центрированное и нормированное нормальное распределение своих значений:

X1 = r SIN(Ф), (3.3)

X2 = r COS(Ф). (3.4)

Блок-схема описанного алгоритма получения последовательности выборок значений процессов Х1 и Х2 приведена на рис. 3.1.

На рис. 3.2 дана блок-схема алгоритма получения с помощью процессов Х1 и Х2 двумерного нормального марковского процесса с заданным коэффициентом корреляции квадратур (P), заданным среднеквадратическим отклонением (СКО) значений квадратур и заданными значениями матожидания (МО) квадратур, которые представляют собой проекции на оси координат вектора регулярного компонента (Aps и Apc).

Коэффициент автокорреляции процесса Rk обусловлен интервалом корреляции Tk и периодом взятия выборок Т и находится (для марковского процесса) по формуле

Rk = exp(-T / Tk). (3.5)

Определяя последовательности значений Х1, Х2 и зная Rk, можно формировать марковский процесс с некоррелированными квадратурами, которые назовем первообразующими процессами [16]:

X0s(n) = X0s(n-1) R_k + X1(n) ; (3.6)

X0c(n) = X0c(n-1) R_k + X2(n) . (3.7)

НАЧАЛО

ВВОД:

RDX0(0) - нач-е случ-е число

Формирование 1-го начального

RDX0(1) = ГСЧ0(RDX0(0)) случайного числа с помощью

вспомогательного ГСЧ

Формирование 2-го начального

RDX0(2) = ГСЧ0(RDX0(1)) случайного числа с помощью

вспомогательного ГСЧ

n = 0

n = n + 1

RDX1(n) = ГСЧ(RDX1(n-1)

Определение модуля

r(n) = SQR(2LOG(1/RDN1(n))) n-го случайного вектора,

(модуль имеет релеевское

распределение )

RDX2(n) = ГСЧ(RDX2(n-1)

Определение фазы

Ф(n) = 2 * PI * RDN2(n) n-го случайного вектора

(фаза имеет равномерное

распределение)

Формирование проекций

X1(n) = r(n) * SIN(Ф(n)) n-го случайного вектора

X2(n) = r(n) * COS(Ф(n)) (проекции имеют

нормальное распределение)

ВЫВОД:

X1(n); X2(n)

НЕТ

ОСТАНОВ

?

ДА

КОНЕЦ

Рис. 3.1

НАЧАЛО

ВВОД:

Tk - интервал корреляции

T - период выборок

P - коэф. коррел. квадратур

SKO - СКО квадратур

Aps ; Apc - квадратуры

регулярной составляющей

n = 0

n = n + 1

Формирование квадратур

X1(n) ; X2(n) некоррелированного случайного

нормального процесса

Rk = EXP(-T/Tk) Определение коэф. коррел.

X0s(n) = Rk*X0s(n-1)+SQR(1-Rk^2)*X1(n) Формирование квадратур

X0c(n) = Rk*X0c(n-1)+SQR(1-Rk^2)*X2(n) марковского

процесса

Aas(n) = X0s(n) * SKO + Aps

Aac(n)=(P*X0s(n)+

+SQR(1-P^2)*X0c(n))*SKO+Apc

ВЫВОД:

Aas(n) ; Aac(n)

НЕТ

ОСТАНОВ

?

ДА

КОНЕЦ

Рис. 3.2

Определив X0s и X0c, находят значения коррелированных квадратур с заданным СКО и МО:

Aas = X0s  CKO + Aps; (3.8)

Aac=(P  X0s +  X0c)  CKO + Apc. (3.9)

Модуль полученного процесса:

A = . (3.10)

В зависимости от заданных параметров модуль вектора A может иметь релеевский, райсовский, усеченный односторонний нормальный или промежуточный между перечисленными закон распределения вероятности.

Для релеевского распределения необходимо, чтобы квадратуры процесса были не коррелированы ( Р = 0 ) и МО квадратур были равны нулю ( Aрs = 0 и Aрc = 0 ).

Для райсовского распределения нужно, чтобы, в отличие от релеевского, хотя бы одна из квадратур процесса имела не равное нулю МО.

Для усеченного одностороннего нормального распределения требуется, чтобы квадратуры процесса были коррелированы ( Р = 1 ), а МО квадратур равны друг другу (Aрs = Aрc). Если при этом МО квадратур равны нулю (Aрs = 0 и Aрc = 0), то будет иметь место простое одностороннее нормальное распределение с максимумом в начале координат.

В общем случае значения матожидания квадратур Aрs и Aрc могут быть функциями времени и изменяться по собственному заданному закону.

В прил. 3 приведена программа “VECTOR”, которая разработана на основе вышеописанных алгоритмов формирования нормального двумерного марковского процесса.

С помощью программы “VECTOR” можно визуально наблюдать и исследовать поведение вектора двумерного процесса на плоскости в зависимости от заданных параметров распределения случайной величины (коэффициента автокорреляции процесса, коэффициента взаимной корреляции квадратур, СКО флуктуирующей составляющей, значения регулярного компонента процесса и т. д.). Кроме того, данная программа имеет собственный основной ГСЧ, период которого может оперативно изменяться пользователем вплоть до максимально возможного с разрядностью двоичных чисел, равной 53, что позволяет наблюдать влияние периода ГСЧ на характер распределения выборок двумерного случайного процесса.

Модули векторов случайных величин в зависимости от заданных параметров нормального закона распределения могут быть распределены в частных случаях по релеевскому, райсовскому и одностороннему усеченному нормальному законам распределения. В общем случае распределение модуля вектора случайной величины имеет промежуточный между перечисленными законами распределения вид, который в некоторых случаях соответствует закону Накагами или так называемому m-распределению.

Входными данными программы являются:

- начальное квазислучайное число;

- время автокорреляции процесса;

- коэффициент взаимной корреляции квадратур флуктуирующей

составляющей процесса, определяющий характер закона

распределения модуля вектора случайной величины;

- среднее значение модуля флуктуирующего компонента процесса;

- значение модуля регулярной составляющей процесса;

- общее число отсчетов моделируемого процесса;

- число выборок значений случайного процесса в единицу времени;

- разрядность двоичных чисел основного ГСЧ.

Выходными данными программы являются:

- визуальное представление местоположения выборок на координатной

плоскости;

- вектор двумерного случайного процесса;

- траектория движения конца вектора двумерного случайного процесса.

При демонстрации отсчеты могут быть цветными и бесцветными. При бесцветных отсчетах после окончания первого периода формирования случайных чисел ГСЧ процесс визуально “застывает”. При цветных выборках протекание процесса можно наблюдать сколь угодно долго. Режимы работы модели позволяют отображать на экране дисплея собственно вектор двумерного случайного процесса и траекторию движения его конца.

Данная программа может быть положена в основу методики проведения лабораторных работ по курсу статистической радиотехники или теории вероятностей при изучении распределения модуля вектора случайной величины, плотности вероятности двумерного нормального распределения в зависимости от заданных параметров.

Экзаменатор к. т. н, доцент В.Л. Хазан

Министерство образования Российской Федерации

Омский государственный технический университет

КАФЕДРА «СРЕДСТВА СВЯЗИ и ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»

ДИСЦИПЛИНА «МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ СВЯЗИ»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4

1. Модель однолучевого дискретного канала связи с замираниями и станционными помехами.