3. Определение элементов эллипса искажений

По известным значениям m, n и  легко определяются элементы эллипса искажений a, b и ', при этом используются соотношения сопряжённых полудиаметров эллипса как геометрической фигуры:

а² + b² = m² + n² ;

ab = mn sin,

откуда

a = (d + e) ;

b = (d - e) ,

г де

d = ;

e = .

Ориентирный угол  ' определяется выражениями:

tg  = = = = ;

tg ’ = tg  .

Пример. По полученным из измерений на карте

m = 0,9667, n = 1,0860 и  =  72,8°

вычисляем:

m² = 0,93451, n² = 1,17940, mnsin = 1,00289 ,

d = . = 2,02970 ;

e = = 0,32883 ;

a = (d + e) = 1,1793;

b = (d - e) = 0,8504.

Контроль: ab = 1,0029, mnsin= 1,0029.

С учётом того, что a² = 1.39075 и b² = 0.72318, вычисляем:

tg  = = = = =  1,469,

откуда

 = - 55° 46'.

Знак "  " соответствует положению острого угла  влево от изображения северного направления меридиана.

tg ’ = tg  = (1,469) =  1,059,

откуда

’ = - 46° 38'.

4. Построение эллипса искажений

Посередине чистого листа бумаги проводится вертикальная линия, которая принимается за изображение отрезка меридиана N'S' (рис. 3). Под углом  к этой линии, в соответствии с его изображением на карте, проводится линия, принимаемая за изображение отрезка параллели W'E'.

Далее от северного направления изображения меридиана M'N' откладывается ориентирный угол ’ так, чтобы он лежал внутри угла .

Проводятся линия A'₁A' и перпендикулярная ей линия B'₁B'.

Значения относительных масштабов длин m, n, a и b пересчитываются в соответствии с выбранным масштабом построения эллипса искажений.

Рис. 3

Пример. Одной единице относительного масштаба длин (безразмерная величина) соответствует 5 см длины отрезка на бумаге (табл.):

Относительные масштабы	m	n	a	b
Расчётные значения	0,9628	1,0884	1,1794	0,8506
Значения, приведённые в масштаб, см	4,81	5,44	5,90	4,25

Полученные значения откладывают по обе стороны от точки M' соответственно на линиях:

m  N'S',

n  W'E',

a  A₁'A',

b – B₁'B'.

Восемь точек на концах отложенных отрезков соединяются плавной кривой. Полученная фигура представляет собой изображение эллипса искажений.

Для более точного построения можно дополнительно рассчитать относительные масштабы c по произвольным направлениям, заданным дирекционными углами u' в проекции или u на сфероиде. Формулы для расчёта c имеют вид:

c² = a² cos² u + b² sin² u

или (8)

= cos² u' + sin² u'.

Дирекционные углы откладываются от первого главного направления A₁'A' по часовой стрелке от 0 до 360°. Фигура  эллипс состоит из четырёх симметричных долей. Это значит, что рассчитанное по одному значению дирекционного угла значение c может быть отложено во всех четырёх долях, то есть расчёт c достаточно вести только для дирекционных углов в первой четверти.