20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
Теорема 5.
Формула общего решения (1) имеет вид:
(3) где
– произвольные, принадлежащие
числа, а
– фундаментальная система решений.
Следствие: Уравнение (1) не может иметь больше линейно независимых решений.
Теорема 6.
Пусть дано
Зная одно нетривиальное решение
уравнения (1), можно подстановкой
понизить порядок уравнения, сохранив
его линейность и неоднородность.
Теорема 7. – линейно независимые функции. . Тогда уравнение вида (1), для которого эти функции являются фундаментальной системой решений.
21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
Пусть дана система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y1(x), y2(x), …, yn(x).
Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x), система функций y(x), y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю
Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение.
22.Формула Остроградского-Лиувилля.
Теорема 8.
Пусть
–
фундаментальная система решений (1),
тогда справедлива формула:
(формула Остроградского-Лиувилля).
Доказательство:
Из теоремы 7: по
ф.с.р. линейное однородное уравнение
восстанавливается единственным образом,
и это будет уравнение
.
Сопоставляя
и
(1), получим:
.
Далее воспользуемся
формулой для производной определителя:
.
23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
Найти
все корни соотв. Хар-ко многочлена вместе
с их кратностями каждому действ. корню
поставить в соответствие функции
;
k-кратность
корня;
,
А
каждой паре комплонарных сопряженных
нужно сопоставить ф-цию:
s-кратность каждого корня.
Функции указанным образом сопоставляются всем действительным корням и всем парам комплексн. Сопряж., образуют Ф.С.Р. Ур-ия (1)
Док-во:
Для частных случаев
1) все корни характеристического многочлена действительны и имеют кратность=1.
-Ф.С.Р.
подставим в (1)
2) n=2
Где
.
24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
Метод Лагранжа (метод вариаций производных постоянных)
1) Составить и решить систему алгебраических уравнений
Доказательство:
Для
(и еще +f(x) для k=n )
25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
Метод неопределенных коэффициентов.
(Для уравнений с постоянными коэффициентами)
1)
-квазимногочлен
k=0,
,
если
не является корнем соответствующего
уравнения а если
,
то
берется кратности этого корня.
берется неопределенное,
а затем находится подстановкой в
.
2)
k=0,
если
― не корни соответствующего
характеристического уравнения,
равно кратности этих корней.
l=max(l1,l2)
Сначала
― неизвестные. Находятся подстановкой
в исходное уравнение.