- •14.8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •14.8. 1. Теорема Ферма (1601-1665гг)
- •Предположим, что т.Е. То будем иметь:
- •Геометрический смысл теоремы Ферма
- •14.8.2. Теорема м. Ролля (1652-1719)
- •Геометрический смысл теоремы Ролля
- •14.8.3. Теорема Лагранжа (1736-1813)
- •Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •14.8.4. Теорема Коши (1789-1857)
- •14.8.5. Правило Лопиталя (1661-1704)
- •Лекция 15. Применение дифференциального исчисления к исследованию функции
- •15.1. Признаки монотонности функции
- •15.2. Экстремумы функции
- •Необходимый признак экстремума функции
- •15.4. Применение второй производной к исследованию функции Второй достаточный признак экстремума.
- •15.5. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба
- •15.6. Асимптоты линий
- •15.7. Общая схема исследования функции
- •5. Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
- •6. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке .
- •7. Алгоритм отыскания асимптоты графика функции .
- •8. Алгоритм исследования и построения графика функции.
14.8. Основные теоремы дифференциального исчисления
14.8. 1. Теорема Ферма (1601-1665гг)
Теорема 14.1. Пусть функция определена на отрезке и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее и наименьшее значение. Тогда, если существует производная , то она равна 0, т.е. .
Доказательство:
Докажем для случая, когда функция принимает в точке с наибольшее значение, т.е.
Пусть определена на отрезке и во внутренней точке с этого отрезка принимает наибольшее значение: В точке с существует производная Требуется доказать, что
Дадим точке с приращение так как не вышла за пределы запишем в точке с, функция принимает наибольшее значение, то
Предположим, что т.е. то будем иметь:
Переходя к пределу:
Предположим, что т.Е. То будем иметь:
Переходя к пределу:
Из двух неравенств следует, что .
Аналогично,
когда в точке
,
функция достигает своего наименьшего
значения. Т
Геометрический смысл теоремы Ферма
Вспомним геометрический смысл производной в точке : - угловой коэффициент касательной в точке , а если , то касательная параллельна оси Ох.
14.8.2. Теорема м. Ролля (1652-1719)
Теорема 14.2. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах интервала принимает равные значения , то между точками найдется, по крайней мере, одна точка : .
Д
Пусть для функции условия теоремы выполняются. Т.к. непрерывна на отрезке по теореме 2 Вейерштрасса она принимает на этом отрезке свои наибольшие и наименьшие значения: М и т.
Рассмотрим два случая:
По определению наибольшего и наименьшего значения из отрезка выполняется неравенство: а производная от
Оба эти значения функция достигает на отрезке и так как по условию теоремы то оба эти значения не могут достигаться одновременно на концах . Значит, одно из этих значений достигается внутри интервала , то есть в точке . В таком случае, мы находимся в условии теоремы Ферма, на основании которой Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля
Если , то - есть угловой коэффициент касательной и , следовательно, касательная параллельна . Смысл в том, что найдется такая точка , в которой касательная к ней параллельна оси .
14.8.3. Теорема Лагранжа (1736-1813)
Теорема 14.3. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая на промежутке , то между точками и найдется, такая точка , что имеет место равенство:
.
Доказательство:
Пусть - непрерывна на отрезке и дифференцируема на промежутке Рассмотрим вспомогательную функцию , где
- удовлетворяет условию теоремы Ролля на отрезке . В самом деле, она непрерывна на отрезке , как алгебраическая сумма непрерывных функций, следовательно, она дифференцируема на промежутке Ее производная равна:
достигается непосредственным вычислением. На основании теоремы Ролля между точками существует такая точка с, что
Но
Отсюда, . Теорема доказана.
Доказанная в теореме формула носит название формулы Лагранжа.