17) Функция распределения. Её свойства.

 Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:    F (x) = p (X < x).                                                       

Свойства функции распределения.

1)      0 ≤ F(x) ≤ 1.  Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2)      Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ >x₁. Это следует из того, что  F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁).

3)        В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4)      Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:  p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).      Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Если F(x)  - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

График функции распределения имеет ступенчатый вид:

18).Непрерывная случайная величина. Плотность распределения н.С.В..

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для н.с.в.существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания н.с.в. X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке: P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

Плотностью распределения н.с.в. X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания н.с.в. X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания н.с.в. X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β)

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

 

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x .

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки:  Это свойство следует из формулы , если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.