3. Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)

Набор векторов a₁ a₂ … a_n называется системой векторов.

Система векторов {a_i}, i=1,n называется линейно-зависимой, если в случае, когда линейная комбинация равно 0, найдется хотя бы один коэффициент α_i отличный от 0. И в этом случае можно выразить один вектор через другой.

Система называется линейно-независимой, если в случае приравнивания линейной комбинации к 0 все α_i = 0.

На плоскости любые два неколлинеарных вектора и любые три некомпланарных на плоскости будут линейно-независимыми. Число линейно-независимых векторов в пространстве не может превышать размерности этого пространства.

4. Базис

Базис (др. греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора, в трехмерном геометрическом пространстве – любые 3 некомпланарных, в любом пространстве – являются линейно-независимые вектора, число которых определяется размерностью пространства.

5. Теоремы о единственности разложения любого вектора пространства (r2, r3)

Базисов можно выбрать бесконечно много в любом пространстве, но если конкретный базис выбран R³ {l₁, l₂, l₃}, то любой вектор можно разложить по этому базису.

x = x₁l₁ + x₂l₂ + x₃l₃

Коэффициенты разложения называются координатами вектора. Разложение вектора по базису всегда единственное.

Вычтем:

- линейная комбинация линейно-независимых векторов

x₁-y₁=0

x₂-y₂=0

x₃-y₃=0

Следовательно, вектор имеет одни координаты, что говорит о единственности разложения вектора.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов

Для того чтобы найти базис системы векторов A1 ,A2 ,...,An необходимо:

• Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ

• Привести эту систему

6. Координаты, проекция вектора на ось

В сякий геометрический вектор a может быть единственным образом представлен в виде:

a=X₁e₁+ X₂e₂ + X₃e₃, где числа X – координаты вектора a в базисе β= (е₁ е₂ е₃)

П роекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Базис β= (е₁ е₂ е₃) называется прямоугольным если векторы е попарно перпендикулярны и имеют единичную длину.

К оординаты x y z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты i j k, а длина вектора равна

Числа

Называется направляющими косинусами вектора a< они совпадают с координатами (проекциями) его орта а₀=1/|a|*a

Координаты вектора будут проекциями вектора на эти оси.

7. Декартова система координат

Упорядоченная система трех взаимно-перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется декартовой прямоугольной системой координат.

К оординаты x y z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты i j k, а длина вектора равна

Числа

Называется направляющими косинусами вектора a< они совпадают с координатами (проекциями) его орта а₀=1/|a|*a

Координаты вектора будут проекциями вектора на эти оси.

В трехмерном пространстве введена декартова прямоугольная система координат если заданы:

1. Некоторая точка О, называемая началом координат

2. Некоторый прямоугольный базис β= (i, j, k) в множестве вех геометрических векторов.

Оси, проведенные через начало координат в направлении базисных ортов называются координатными осями.