77.Распредение Пирсона
Пирсона кривые (Пирсона распределение) — название семейства непрерывное распределений вероятностей (распределений Пирсона),плотности которых p(x) удовлетворяют дифференциальному уравнению , где параметры a,b0,b1,b2 —действительные числа. Более точно, кривыми Пирсона называются графики зависимости p(x) от x. Распределения, являющиеся решениями этого уравнения, совпадают с предельными формами гипергеометрического распределения.
Классификация
Кривые Пирсона классифицируются в зависимости от характера корней уравнения b0 + b1x + b2x2. Семейство кривых Пирсона составляют 12 типов и нормальное распределение. Многие важнейшие распределения в математической статистике могут быть получены с помощью преобразований из уравнения выше.
Систематическое описание типов кривых Пирсона дано У. Элдертоном (W. Elderton, 1938). В упрощенном виде классификация по типам такова.
Тип I: ; частный случай — бета-распределение 1ого рода.
Тип II: (вариант кривых Пирсона типа I); частный случай — равномерное распределение.
Тип III: ; частные случаи — гамма-распределение и хи-квадрат-распределение.
Тип IV: .
Тип V: (сводится преобразованиями к типу III).
Тип VI: ; частные случаи — бета-распределение 2ого рода и Фишера-Снедекора распределение (F-распределение).
Тип VII: ; частный случай — Стьюдента распределение (t-распределение).
Тип VIII: .
Тип IX: .
Тип X: , — Показательное распределение (экспоненциальное).
Тип XI: ; частный случай — Парето распределение.
Тип XII: (вариант типа I).
Наиболее важны в приложениях типы I, III, VI и VII.
Значение
Всякая кривая Пирсона однозначно определяется своими первыми четырьмя моментами , если они конечны. Это свойство семейства кривых Пирсона используется для приближенного описания эмпирических распределений.
Метод подгонки кривой Пирсона к некоторому эмпирическому распределению состоит в следующем. По независимым результатам наблюдений вычисляют первые четыре выборочных момента, затем определяется тип подходящей кривой Пирсона и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомой кривой Пирсона. В общем случае метод моментов не является эффективным методом получения оценоккривых Пирсона. Проблема более точной аппроксимации распределений с помощью кривых Пирсона получила новое решение в работах Л. Н. Большева (1963) по асимптотическим преобразованиям.
Распределения Стьюдента
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семействоабсолютно непрерывных распределений.
Определение
Пусть — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
,
где — гамма-функция Эйлера.
Свойства распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента симметрично. В частности если , то
.
Моменты
Случайная величина имеет только моменты порядков , причём
, если нечётно;
, если чётно.
В частности,
,
, если .
Моменты порядков не определены.
Связь с другими распределениями
Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:
.
Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при . Пусть дана последовательность случайных величин , где . Тогда
по распределению при .
Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть . Тогда
.
Применение распределения Стьюдента
Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построениядоверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднегостатистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что . Обозначим выборочное среднее этой выборки, а выборочную оценку её дисперсии. Тогда
.