3. Метод кусочной аппроксимации

Существуют различные приближенные приемы моделирования случайных величин: численное решение уравнения  относительно  при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения; замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы, и другие приемы [10, 23]. Среди них универсальным и наиболее простым является метод кусочной аппроксимации, предложенный Н. П. Бусленко [11].

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайную величину  с функцией плотности . Предположим, что область возможных значений величины  ограничена интервалом  (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал  на  достаточно малых интервалов , так, чтобы распределение заданной случайной величины в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением, например равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением (рис. 1.3).

Пусть  — вероятность попадания случайной величины  в каждый из интервалов . Получать реализации величины  с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью  выбирается интервал ; 2) формируется реализация  случайной величины, равномерно распределенной в интервале ; 3)  искомая реализация  получается по формуле

.

Случайный выбор интервала  с вероятностью  означает, по существу, моделирование дискретной случайной величины, принимающей  значений , с вероятностью  каждое, что можно сделать достаточно просто [11]. Интервал  разбивается на  интервалов длиной  каждый. Из датчика случайных равномерно распределенных в интервале (0, 1) чисел выбирается некоторая реализация . Путем последовательного сравнения  с  определяется тот интервал , в котором оказывается .

Рис. 1.3.

В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале  случайной величины в некоторый подинтервал  равна длине этого подинтервала. Рассмотренный выше процесс представляет интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных случайных величин и случайных событий [10, 11].

Для моделирования случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы  одинаковыми , а число  таким, что , где  — целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел [10, 11]. В этом случае величины  должны быть выбраны такими, чтобы

.

При равенстве вероятностей  для случайного выбора индекса  можно использовать первые  разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения.

Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций . Первые  разрядов числа  используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины  и , а затем по формуле

получается реализация  случайной величины  с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа , т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин , , что является недостатком рассмотренного метода, в особенности при больших .