10. Формула Пуассона

Если n велико, то вероятность Р_n(т) сколь угодно мало отли­чается от своего предела. Отсюда при больших п для искомой вероятности Р_n(т) имеем приближенную формулу Пуассона

где

Вообще, формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний n «велико», вероятность события р_п «мала», а «не мало и не велико».

11 Локальная теорема Лапласа

Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытании достаточно велико.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

q=1-p,

при m→∞ погрешность формулы →0.

Смысл пораметра t здесь среднее значение числа появления события А в m испытаниях.

Величина m-np есть отклонение числа появления события

- некий масштаб для отклонения при n испытаниях.

Величина t можно наглядно представить себе как отклонение числа появления событий А от среднего значения в масштабе σ.

Введём функцию

Тогда функция Лапласа запишется в виде:

Интегральная теорема Лапласа.

Поставим вопрос: какова вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях появляется не менее т₁ раз и не более т₂ раз?

Отсюда, используя локальную теорему Лапласа, приближенно будем иметь

где

И следовательно

Сумма является интегральной для функции φ₀(£) на отрезке (t_m1,t_m2). При n→∞, т. е. при ∆t_m→0, ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому, считая п достаточно большим, получаем приближенную формулу

Это составляет содержание интегральной теоремы Лапласа. Введем стандартный интеграл вероятностей (функцию Лапласа)

интегральная формула Лапласа.

12. Дискретные случайные величины (дсв). Формы задания закона распределения вероятностей

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, z..

Случайные величины подразделяться на дискретные(дсв) и непрерывные(нсв).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины — бесконечно.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Аналитический Р(Х=х_i)=φ(x_i)