- •1) Перестановка
- •2 ) Определитель
- •4) Миноры алгебраические дополнения
- •6) Проекция вектора на ось это число или скаляр.
- •8) Векторное произведение векторов
- •9) Смешанное произведение векторов
- •10) Линия на плоскости
- •11) Кривые второго порядка
- •12) Поверхность в пространстве
- •- Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •13) Линия в пространстве
- •14) Комплексные числа
- •15) Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа
- •16) Многочлен. Сложение, умножение и деление многочлена.(?) Теорема Безу
- •17) Корень многочлена
- •19. Многочлены с действительными коэффициентами. Теоремы о многочленах с действительными коэффициентами
- •20. Понятие матрицы. Диагональные и треугольные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение(вычитание) матриц, умножение матрицы на число. Свойства сложения матриц. Свойство умножения матрицы на число
- •21. Умножение матриц. Свойства умножения матриц
- •22. Обратная матрица и её основные свойства. Критерий обратной матрицы
- •24. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
- •25. Понятие линейной зависимости (независимости) системы векторов. Основные свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов
- •26) . Понятие линейной зависимости(независимости) системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости для системы геометрических векторов
- •27)Что называют системой образующих линейного пространства? Дайте два определения базиса в лин. Пространстве. Каким из этих определений удобнее пользоваться при решении задач?
- •28)Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении векторов по базису
- •29)Преобразование координат вектора при переходе к другому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому
- •30)Что называют линейным подпространством в линейном пространстве?
1) Перестановка
Перестановкой степени n называется любая упорядоченная
запись натуральных чисел 1, 2, 3, . . . , n в строчку одно за другим. Говорят, что в данной перестановке два числа образуют инверсию (беспорядок), если большее из чисел в данной перестановке стоит левее меньшего. В противном случае эти два числа образуют порядок. Перестановка называется чётной, если общее количество инверсий есть чётное число и, соответственно, нечётной, если общее количество инверсий, содержащихся в этой перестановке , число нечётное.
2 ) Определитель
Определителем порядка n, или детерминантом квадратной матрицы,
называется алгебраическая сумма из n! слагаемых, каждое из которых
представляет собой произведение n элементов нашей матрицы, взятых каждый
раз по одному из каждой строчки и из каждого столбца, при этом слагаемы берутся со знаком (+), если индексы его сомножителей образуют чётную
подстановку, и со знаком (-) , если его индексы образуют нечётную подстановку.
СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1. Определитель не изменится, если все его строчки сделать
столбцами, а все его столбцы сделать строчками с прежними номерами. Такое
преобразование называется транспонированием.
2. Если в определителе все элементы какой – либо строки равны нулю,
то и сам определитель равен нулю.
3. От перестановки двух строк абсолютная величина определителя не
меняется, а знак меняется на противоположный.
4.Если в определителе имеются две одинаковые строчки, то определитель
равен нулю.
5.Если в определителе какую-либо строку умножить на некоторое число, то
весь определитель умножится на это число. Это означает, что общий множитель
можно выносить за знак определителя.
6.Если в определителе есть две пропорциональные строчки, то такой
определитель равен нулю.
7.Если в определителе какая-либо i-я строка представлена в виде суммы двух
слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у которых
все строки, кроме этой строки такие же, как у исходного определителя, а i-я
строка у одного определителя составлена из первых слагаемых, а у второго
определителя i-я строка составлена из вторых слагаемых.
8.Если в определителе какая-либо строка является линейной комбинацией
остальных строк, то такой определитель равен нулю.
9.Определитель не изменится, если к какой-либо строке прибавить любую
другую строку, умноженную на любое число.
3) В треугольной матрице определитель равен произведению элементов по главной диагонале.
4) Миноры алгебраические дополнения
Выберем в определителе произвольным образом k строк и k
столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов
образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется
минором k-го порядка для первоначального определителя. Произведение дополнительного минора на (-1) в степени суммы номеров строк и столбцов минора называется алгебраическим дополнением для минора .
Теорема о разложении определителя по элементам столбца или строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки или столбца на их алгебраические дополнения
На лекции писали. Если у разложения определителя по i-той строке, алгебраические дополнения заменить алгебраическими дополнениями другой строки/столбца, то сумма разложения будет равна нулю.
Теорема ЛАПЛАСА. (Частный случай). Величина определителя равна сумме
произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.
5) Вектор (направленный отрезок) — упорядоченная пара точек. Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Св-ва: сложение, вычитание, умножение на число.