3. Законы больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей.

3.1. Законы больших чисел.

Ряд утверждений и теорем в теории вероятностей объединены общим названием: законы больших чисел.

Эти законы делятся на две группы. К первой группе относятся утверждения, касающиеся оценок вероятностей больших отклонений случайной величины Х от ее математического ожидания, справедливые для любого распределения. Суть этой группы законов можно выразить краткой формулой: большие отклонения от m_X мало вероятны. Ко второй группе законов относятся утверждения о сходимости некоторых последовательностей случайных величин (теорема Чебышева и ее обобщения).

Неравенства Чебышева.

Первое неравенство Чебышева.

Пусть Х – случайная величина с конечным m_X 

(3.1.1)

Пусть, для определенности, Х-СВНТ. Запишем по определению математическое ожидание от модуля случайной величины X :

Выберем произвольное >0, разобьем маршрут интегрирования на два непересекающиеся интервала и воспользуемся свойством аддитивности интеграла по области.

В силу неотрицательности подинтегральной функции получаем

,

откуда следует (3.1.1).

Следствие. Пусть Х 0  по одному из свойств математического ожидания  m_X 0  уравнение (3.1.1) перепишется в виде:

(3.1.2)

Второе неравенство Чебышева (в центрированной форме).

Пусть случайная величина Х имеет конечные m_X и 

 (3.1.3)

Обозначим, как и ранее в главе 2, -центрированная случайная величина. Учитывая очевидное равенство

и применяя доказанное выше первое неравенство Чебышева (3.1.1), получим:

что и требовалось доказать.►

Пример 3.1.1. Пусть X-число бракованных изделий из 100 наудачу отобранных из большой партии, поступившей в продажу. За большой период посчитано, что в среднем для этого вида изделий брак составляет 1%. Оценить вероятность события {X 5 }.

Т.к. Х>0 и по условию m_X=0,01100=1,то по следствию из первого неравенства Чебышева  P{X 5}

Пример 3.1.2. Пусть в условиях примера (3.1.1) известно, что .Оценить P{X 5}.

Заметим, что в силу условия X>0,

P{X 5} P{|X-1| 4}

Заметим, что вероятность существенно уменьшилась!

Пример 3.1.3 Предположим, X~P_U(=1), что хорошо согласуется с данными задачи (одним из признаков этого является равенство: m_X= ) и соответствует закону редких явлений. Оценим снова вероятность события .

P{X 5}= Это более, чем в 17 раз меньше предыдущей оценки!

Пример 3.1.4. В условиях примера 3.1.2. оценить вероятность события {X 2}.

◄ Очевидно, что в силу условия имеем следующую цепочку отношений между событиями

. (3.1.4)

Действительно,

откуда и следует (3.1.4).

Отсюда по закону поглощения получаем

,

т.е. получили тривиальный результат ►

Сделаем некоторые выводы. Последние примеры показывают, что чебышевские оценки сверху вероятностей больших отклонений случайной величины X от ее математического ожидания являются довольно грубыми, что является платой за незнание закона распределения сл.вел. X. На практике неравенства Чебышева имеет смысл применять при условии . Однако теоретическое значение неравенств (3.1.1) – (3.1.3) большое, что будет ясно из дальнейшего.

Еще раз отметим, что рассмотренные выше примеры касались оценок сверху больших отклонений. Для получения оценок снизу следует перейти в неравенствах (3.1.1) – (3.1.3) к противоположным событиям. Например из (3.1.3) получаем:

(3.1.5)

Пример 3.1.5 Средняя длина детали, производимой на конвейерной линии, равна 50 см, а дисперсия 0,1 см². Оценить снизу вероятность того, что длина случайно взятой детали окажется в интервале (49,5; 50,5).

◄ Пусть X –длина случайно взятой детали. Очевидно, что события и равносильны. Поэтому, согласно неравенству (3.1.5) P 1– ►

Пример 3.1.6. В условиях предыдущего примера оценить снизу вероятность события {49<X<52}.

◄ Очевидно, что {49<X<52} {48<X<52}= . Поэтому по свойству вероятности

. ►

Пример 3.1.7. Случайная величина X дискретного типа задана законом распределения

	0,3	0,6
	0,2	0,8

а) Используя неравенство Чебышева, оценить снизу вероятность события { }.

б) Найти точное значение вероятности указанного события.

◄ а) Находим дисперсию: 0,09*0,2+0,36*0,8-0,54²=0,0144.

Далее, согласно неравенству (3.1.5), получаем:

P{ } 1– 1–0,36=0,64.

б) Используем закон распределения и цепочку очевидных равенств

P{ }=P{0,34<X<0,74}=P{X=0,6}=0,8. ►

Пример 3.1.8. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,03.

а) Оценить вероятность события , используя неравенство Чебышева.

б) Найти точное значение указанной вероятности.

◄ а) Согласно постановке эксперимента , где n=10, p=0,03. Поэтому =0,5; = =0,5*0,93. Далее используя (3.1.5), получаем

=0,88123.

б) Для точного ответа на вопрос используем биномиальный закон и формулу Бернулли:

Пример 3.1.9. Игральная кость подбрасывается 6 раз. Пусть X – число выпадений четной цифры.

а) Оценить по Чебышеву вероятность события .

б) Найти точное значение указанной вероятности.

◄ а) По условию эксперимента , где n=6, p=0.3. Отсюда следует: , =1,3. Далее согласно неравенству (3.1.3):

.

б) Используем закон распределения:

=2 (1/2)⁶=1/32. ►

Анализируя результаты последних трех примеров обнаруживаем следующую закономерность: оценки по Чебышеву сверху всегда завышены по сравнению с точными значениями вероятности, в то время как оценки снизу – занижены.

Упражнения.

3.1.7. Средний срок службы автомобильной свечи зажигания 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данная свеча прослужит не более 8 лет.

3.1.8. Среднее значение расхода воды в некотором малом населенном пункте составляет 50000 л. в день. Оценить снизу вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды в предновогодний день не превысит 120000 л.

3.1.9. В сентябре в среднем наблюдается 7 дождливых дней. Оценить вероятность того, что в сентябре 2007г. число дождливых дней будет больше 10.

3.1.10. Пусть к данным задачи (3.1.7) добавлена информация, что =0,5 года. Оценить ту же вероятность.

3.1.11.^* Неотрицательные случайные величины X и Y независимы, причем m_X=6, m_Y=4, =1,5, =2. Оценить снизу вероятности событий: , .