1 Вопрос

Множества и операции над ними. Функции и виды.

1 Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также, возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

2 Операции над множествами Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

пересечение:

объединение:

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

разность (дополнение):

симметрическая разность:

Декартово или прямое произведение:

3 Интуитивное описание

Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому^[3] элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.^[4]

При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию f удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого^[3] существует единственный элемент такой, что .

Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

множество X называется о́бластью определе́ния;
множество Y называется о́бластью значе́ний;
множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

4 Линейная функция — функция вида

y = kx + b(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Частный случай линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от — неоднородных линейных функций.