- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
где ; ; .
Система (1) называется однородной, если и неоднородной, если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля.
Рассмотрим однородную систему
(2) ; .
Очевидно, что все результаты, полученные в §5, для общих систем, справедливы и для однородных систем линейных уравнений, однако здесь имеет место некоторая специфика. Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что однородная система (2) всегда совместна, так как ранг её расширенной матрицы , очевидно равен рангу матрицы Впрочем, это видно и непосредственно: однородная система заведомо имеет решение , называемое тривиальным решением.
Выясним, при каких условиях, система (2) имеет так же нетривиальное решение.
Теорема 6.1. Для того чтобы однородная система (2) с квадратной матрицей имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы равнялся нулю.
Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть система (2) имеет нетривиальное решение. Докажем, что Предположим обратное, пусть . Тогда по теореме 2.1 §2 главы 2 система (2) имеет единственное тривиальное решение, что противоречит условию. Cледовательно .
Докажем теперь достаточность. Пусть . Тогда , где расширенная матрица системы (2), а - число неизвестных. Тогда, согласно теореме 5.2 главы 2, система (2) имеет бесконечное множество решений, что означает существование нетривиальных решений.
6.Декартовы координаты на прямой.
Прямую линию с указанным на ней направлением будем называть осью.
Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом и какая – концом. Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке обозначается .
Величиной направленного отрезка называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси, и со знаком «минус», если направление противоположно направлению оси.
Если начало совпадают, то такой направленный отрезок называется нулевым, а величина его считается равной нулю.
Возьмём на произвольной оси некоторую точку , которую будем называть началом координат. Кроме того укажем единицу масштаба.
Пусть - произвольная точка на оси. Декартовой координатой точки называется величина направленного отрезка .
Тот факт, что точка имеет координату , обозначается следующим образом .
Теорема 1.1. Если координаты точек лежащих на одной оси равны соответственно, то величина направленного отрезка равна .
Теорема 1.1 доказывается перебором всевозможных расположений точек на оси. Для примера рассмотрим следующее взаиморасположение точек .
Т.к. направление отрезка совпадает с направлением оси, величина равна длине отрезка .
. С другой стороны из рисунка (1) видно, что . Теорема 1.1 доказана.
Следствие. Расстояние между точками и равно .